線形代数 固有値問題 具体例1

次の行列$A$の固有値、固有ベクトルを求め、$A$を対角化します。
$$
A =
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{pmatrix}
$$
$A$の固有値を$\lambda$、固有ベクトルを$v$とすると、
$$
\begin{align*}
Av  &= \lambda v \\
(A - \lambda E)v &= 0
\end{align*}
$$
$v\neq 0$とすると、$(A - \lambda E)$は正則でないので、
$$
\begin{align*}
|A - \lambda E| &= 0 \\
\begin{vmatrix}
2- \lambda & 1 \\
1 & 2 - \lambda
\end{vmatrix} &= 0 \\
(2- \lambda)^2 - 1 &= 0 \\
(1- \lambda)(3- \lambda) &= 0
\end{align*}
$$
よって、
$$
\lambda = 1 または 3
$$
となります。$\lambda_1 = 1、\lambda_2 = 3$とし、$\lambda_1$対する固有ベクトルを$v_1={}^t\!\begin{pmatrix}x_1 & y_1\end{pmatrix}$、$\lambda_2$対する固有ベクトルを$v_2={}^t\!\begin{pmatrix}x_2 & y_2\end{pmatrix}$とします。$v_1$を求めることにすると、
\begin{align*}
(A - \lambda_1 E)v_1 &= 0 \\
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
y_1
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix}
\end{align*}
これを満たす$v_1$として、
$$
v_1
=
\begin{pmatrix}
1 \\
-1
\end{pmatrix}
$$
を取ります。次に、$v_2$を求めることにすると、
\begin{align*}
(A - \lambda_2 E)v_2 &= 0 \\
\begin{pmatrix}
-1 & 1 \\
1 & -1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_2 \\
y_2
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
0 \\
0
\end{pmatrix}
\end{align*}
これを満たす$v_2$として、
$$
v_2
=
\begin{pmatrix}
1 \\
1
\end{pmatrix}
$$
を取ります。よって、$A$の2つ持つ固有値と固有ベクトルの組として、
$$
(1, \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}), (3, \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix})
$$
が取れます。$P=\begin{pmatrix}v_1 & v_2 \end{pmatrix}$とおいて、Aを対角化すると、
\begin{align*}
AP &= A\begin{pmatrix}v_1 & v_2 \end{pmatrix} \\
     &= \begin{pmatrix}Av_1 & Av_2 \end{pmatrix} \\
     &= \begin{pmatrix}1v_1 & 3v_2 \end{pmatrix} \\
     &= \begin{pmatrix}v_1 & v_2 \end{pmatrix}
           \begin{pmatrix}1 & 0 \\
                                   0 & 3
           \end{pmatrix} \\
     &= P
           \begin{pmatrix}1 & 0 \\
                                   0 & 3
           \end{pmatrix} \\
A &= P
           \begin{pmatrix}1 & 0 \\
                                   0 & 3
           \end{pmatrix}
        P^{-1} \\
\begin{pmatrix}
2 & 1 \\
1 & 2
\end{pmatrix}
&=
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 3
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 1
\end{pmatrix}^{-1}
\end{align*}
となります。