線形代数 n次元ベクトル、行列とそれらの演算

線形代数の主役である、n次元ベクトルと行列について述べます。n次元ベクトルとは、数(実数など体の元)をn個縦か横に並べたものです。縦に並べたものを縦ベクトルまたは列ベクトル、横に並べたものを横ベクトルまたは行ベクトルと呼びます。
例：
$$
2次元縦ベクトル
\begin{pmatrix}
1 \\
2
\end{pmatrix},\;\;
3次元縦ベクトル
\begin{pmatrix}
\pi \\
e \\
\gamma
\end{pmatrix}
$$
$$
2次元横ベクトル
\begin{pmatrix}
73 & 91
\end{pmatrix},\;\;
3次元横ベクトル
\begin{pmatrix}
e+\tau & \sigma & \sqrt{101}
\end{pmatrix}
$$
ここからは特に断らない限りベクトルと言えば、3次元縦ベクトルのこととします。次に、ベクトルの演算についてです。ベクトルに次の3つの演算を定義します。
スカラー(数)$a$, ベクトル${}^t\!\begin{pmatrix}x & y & z \end{pmatrix}$に対して、
$$
\begin{equation}
a\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix}:=
\begin{pmatrix}ax \\ ay \\ az \end{pmatrix}
\end{equation}\;\;(スカラー倍)
$$
2つのベクトル${}^t\!\begin{pmatrix}x_1 & y_1 & z_1 \end{pmatrix}$、${}^t\!\begin{pmatrix}x_2 & y_2 & z_2 \end{pmatrix}$に対して、
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix}x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix}:=
\begin{pmatrix}x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2 \end{pmatrix}
\end{equation}\;\;(和)
$$
ただし、和は同じ形状の2つのベクトルにのみ定義されます。
横ベクトル$\begin{pmatrix}x_1 & y_1 & z_1 \end{pmatrix}$、縦ベクトル${}^t\!\begin{pmatrix}x_2 & y_2 & z_2 \end{pmatrix}$に対して、
$$
\begin{equation}
\begin{pmatrix}x_1 & y_1 & z_1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix}:=
x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2
\end{equation}\;\;(内積)
$$
左側が横ベクトルで右側が縦ベクトルで無ければならず、かつ長さも同じであるベクトルに対して定義されます。
※n次元の複素ベクトルの内積とは異なります。複素ベクトル内積は$\overline{x_1} x_2 + \overline{y_1} y_2 + \overline{z_1} z_2$となります。
例：
$$
\begin{equation*}
3\begin{pmatrix}8 \\ 3 \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}24 \\ 9 \\ 2 \end{pmatrix}
\end{equation*}
$$
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}\pi \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}e - \pi \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}e \\ 1\end{pmatrix}
\end{equation*}
$$
$$
\begin{equation*}
\begin{pmatrix}\sqrt{2} & 2^3 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix}\sqrt{8} \\ 2^4 \\ 1 \end{pmatrix}=
4 + 2^7 + 0 = 132
\end{equation*}
$$

さて、ベクトルについては一段落とし、行列の話に移ります(ベクトルも出てきますが)。n行m列の行列(簡単に(n, m)行列とも呼ぶことにします)とは、mn個の数(実数など体の元)を縦n横mの長方形上に並べたものです。特に、$m=n$の場合は、n次正方行列と呼びます。実は、n行1列の行列はn次元縦ベクトル、1行m列の行列はm次元横ベクトルになっているので、行列はベクトルを一般化したものと見ることもできます。
例：
$$
2行3列の行列
\begin{pmatrix}
 1  &  4 &    7 \\
10 & 13 & 16
\end{pmatrix},\;\;
$$
$$
2行2列の行列(2次正方行列)
\begin{pmatrix}
\pi & e^{\pi} \\
\log(2) & \gamma
\end{pmatrix},\;\;
$$
$$
3行1列の行列(3次元縦ベクトル)
\begin{pmatrix}
e+\tau \\ \sigma \\ \sqrt{101}
\end{pmatrix}
$$
ここから、一般の$(n,m)$行列$\begin{pmatrix}
a_{11} & \dots & a_{1m} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & \dots & a_{nm}
\end{pmatrix}$を$(a_{ij})$$(1\leqq i \leqq n, 1 \leqq j \leqq m)$と表すことにします。次に、行列の演算についてです。行列に次の3つの演算を定義します。
スカラー(数)$b$, $(n,m)$行列$(a_{ij})$に対して、
$$
\begin{equation}
b(a_{ij}):= (ba_{ij})\;\;(スカラー倍)
\end{equation}
$$

2つの同じ形状の行列$(a_{ij})、(b_{ij})$に対して、
$$
\begin{equation}
(a_{ij})+(b_{ij}):= (a_{ij} + b_{ij})\;\;(和)
\end{equation}
$$
$(n,m)$行列$(a_{ij})$、$(m,l)$行列$(b_{jk})$に対して、
$$
\begin{equation}
(a_{ij})(b_{jk}):=
\left(\sum_{j=1}^{m}a_{ij}b_{jk}\right)
\end{equation}\;\;(積)
$$
例：
$$
2\begin{pmatrix}
 1  &  4 &    7 \\
10 & 13 & 16
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
 2  &  8 &    14 \\
20 & 26 & 32
\end{pmatrix}
$$
$$
\begin{pmatrix}
1 & 3 \\
9 & 0
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
-4 & 7 \\
12 & 5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-3 & 10 \\
21 & 5
\end{pmatrix}
$$
\begin{align*}
\begin{pmatrix}
 1  &  4 &    7 \\
10 & 13 & 16
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
 4  &  2 \\
1 & 3 \\
5 & 6
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
43  &  56 \\
133 & 155
\end{pmatrix}\\
\end{align*}
\begin{align*}
メモ:
43 &= 1\times 4+4\times 1 + 7\times 5 \\
56 &= 1\times 2+4\times 3 + 7\times 6 \\
133 &= 10\times 4+13\times 1 + 16\times 5 \\
155 &= 10\times 2+13\times 3 + 16\times 6
\end{align*}
行列を扱う重要な方法として、ベクトルを並べたものとして扱う手があります。
例：
$$
A
=
\begin{pmatrix}
1  &  7 \\
8 & 15
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
v_1  &  v_2
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
{}^t\!w_1  \\
{}^t\!w_2
\end{pmatrix}
$$
$$
v_1
=
\begin{pmatrix}
1\\
8
\end{pmatrix}
,\;\;
v_2
=
\begin{pmatrix}
7\\
15
\end{pmatrix}
,\;\;
w_1
=
\begin{pmatrix}
1\\
7
\end{pmatrix}
,\;\;
w_2
=
\begin{pmatrix}
8\\
15
\end{pmatrix}
$$
そして、2つの行列$A=\begin{pmatrix}{}^t\!w_1  \\{}^t\!w_2
\end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}v_1  &  v_2 \end{pmatrix}$に対して、$AB$は次のように計算することができます。
$$
AB
=
\begin{pmatrix}Av_1  &  Av_2 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}{}^t\!w_{1}B  \\{}^t\!w_{2}B\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
{}^t\!w_1 v_1  &  {}^t\!w_1 v_2 \\
{}^t\!w_2 v_1 & {}^t\!w_2 v_2
\end{pmatrix}
$$
行列の積は複雑ですが、行列をベクトルを並べたものとして考え、ベクトルの内積を用いると見やすくなるのではと思います。