— toyo (@toyo9) April 20, 2019
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無理数の2/3乗は、必ずしも無理数にはなりません。
例:
x := 2^{\frac{3}{2}}
とすると、xは無理数ですが、
x^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{3}{2}\times \frac{2}{3}} =2^1 =2
となり、x^{2/3}は無理数ではありません。
一方で、無理数の平方根(1/2乗)は、必ず無理数となります。
xを正の無理数とし、もし、x^{1/2}が有理数だとすると、有理数は積で閉じているので、
x^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}=x
も有理数となり、矛盾します。
背理法より、x^{1/2}が有理数でない、つまり無理数であることが分かります。
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