— toyo (@toyo9) April 20, 2019
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無理数の$2/3$乗は、必ずしも無理数にはなりません。
例：
$$
x := 2^{\frac{3}{2}}
$$
とすると、$x$は無理数ですが、
$$
x^{\frac{2}{3}}=2^{\frac{3}{2}\times \frac{2}{3}}
=2^1
=2
$$
となり、$x^{2/3}$は無理数ではありません。
一方で、無理数の平方根($1/2$乗)は、必ず無理数となります。
$x$を正の無理数とし、もし、$x^{1/2}$が有理数だとすると、有理数は積で閉じているので、
$$
x^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}=x
$$
も有理数となり、矛盾します。
背理法より、$x^{1/2}$が有理数でない、つまり無理数であることが分かります。
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