ツイッター自作問題 解答3

このツイートの問題の解答です。

＜問題＞
次の不等式を証明してください。
Σ_{p:prime}は、pを素数全体に動かして和を取ります。 pic.twitter.com/gaNHZ2syqC

— toyo (@toyo9) September 10, 2019

まず、上界を評価します。この評価には、リーマンゼータ関数$\zeta (s)$を用います。リーマンゼータ関数は、次のように定義されています。
$$
\zeta (s) := \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^s}\;\;\;
(s \in \mathbb{C}, {\rm Re}(s) > 1)
$$
特に、次のオイラー積と呼ばれるリーマンゼータ関数の無限積表示を用います。

定理(リーマンゼータ関数のオイラー積)
$$
\zeta (s) = \prod_{p:{\rm prime}}\frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}
$$
ここで、$\prod_{p:{\rm prime}}$は、$p$を素数全体に動かして積を取ることを表します。
証明:

\begin{align*} \zeta(s) &= 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{5^s}+ \frac{1}{6^s} + \cdots \\ &= \frac{1}{2^s}\left(1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots \right) + 1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \cdots \\ &= \frac{1}{2^s}\zeta(s) + 1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \cdots \\ \left(1 - \frac{1}{2^s}\right)&\zeta(s) = 1 + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \cdots \\ &= \frac{1}{3^s}\left(1 + \frac{1}{3^s} + \cdots \right) + 1 + \frac{1}{5^s} + \cdots \\ &= \frac{1}{3^s}\left(1 - \frac{1}{2^s}\right)\zeta(s) + 1 + \frac{1}{5^s} + \cdots \\ \left(1 - \frac{1}{2^s}\right)&\left(1 - \frac{1}{3^s}\right)\zeta(s) = 1 + \frac{1}{5^s} + \cdots &\cdots \end{align*}

同様の変形を繰り返すと、
\begin{align*}
\prod_{p:{\rm prime}}\left(1-\frac{1}{p^s} \right) \zeta (s) &= 1 \\
\zeta (s) &= \prod_{p:{\rm prime}}\frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}
\end{align*}
となり、結果が示されました。$\square$

さて、良く知られた結果である$\zeta (2) = \pi^2/6$をオイラー積で表すと、
$$
\prod_{p:{\rm prime}}\frac{1}{1-\frac{1}{p^2}} = \frac{\pi^2}{6}
$$
となります。両辺を入れ替えてから、両辺の対数を取って変形して行くと、

\begin{align*} \log \left(\frac{\pi^2}{6}\right) &= \log \left(\prod_{p:{\rm prime}}\frac{1}{1-\frac{1}{p^2}}\right) \\ &= \sum_{p:{\rm prime}}\log \left(\frac{1}{1-\frac{1}{p^2}}\right) \\ &= \sum_{p:{\rm prime}}\left(\frac{1}{p^2}+\frac{1}{2p^4}+\frac{1}{3p^6} + \cdots \right)\\ &= \sum_{p:{\rm prime}}\frac{1}{p^2} + \sum_{p:{\rm prime}}\left(\frac{1}{2p^4} + \frac{1}{3p^6} + \cdots \right) \\ &> \sum_{p:{\rm prime}}\frac{1}{p^2} + \frac{1}{2\times 2^4} + \frac{1}{3\times 2^6} + \cdots \\ &= \sum_{p:{\rm prime}}\frac{1}{p^2} - \log \left(1-\frac{1}{4} \right) - \frac{1}{4} \\ \log \left(\frac{\pi^2}{6}\right) &+ \log \left(\frac{3}{4} \right) + \frac{1}{4} > \sum_{p:{\rm prime}}\frac{1}{p^2} \\ &\log \left(\frac{\pi^2}{8}\right) + \frac{1}{4} > \sum_{p:{\rm prime}}\frac{1}{p^2} \end{align*}

となり、上界を求められました。

一方、下界ですが、最初の3項だけ足して求めた下界、つまり、
$$
\sum_{p:{\rm prime}}\frac{1}{p^2} > \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} = \frac{361}{900} = 0.40\dot{1}
$$
の方が問題にある下界$(\log(\pi^2/6)-4/3+\pi^2/8=0.398\dots$)より、良い評価となっています。