ツイッター自作問題 解答4

 このツイートの問題の答えです。

＜問題＞
次の定積分を実行してください。 pic.twitter.com/roFWR1qrYp

— toyo (@toyo9) October 25, 2019

オイラーの公式
$$
e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)
$$
 を用いて、与式を変形すると、

\begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi}\sin(x)^{2n}dx &= \int_{-\pi}^{\pi}(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i})^{2n}dx \\ &= \frac{1}{(2i)^{2n}}\int_{-\pi}^{\pi}(e^{ix}-e^{-ix})^{2n}dx \\ &= \frac{(-1)^n}{2^{2n}}\int_{-\pi}^{\pi}(e^{i\pi}-e^{-i\pi})^{2n}dx, \end{align*}

ここで、$u=e^{ix}$とおくと、$du=ie^{ix}dx, dx=du/(iu)$で、積分範囲は$|u|=1$を反時計回りに回る範囲となります。従って、

\begin{align*} \frac{(-1)^n}{2^{2n}}&\int_{-\pi}^{\pi}(e^{i\pi}-e^{-i\pi})^{2n}dx \\ &= \frac{(-1)^n}{2^{2n}}\oint_{|u|=1を反時計回り}(u-u^{-1})^{2n}\frac{du}{iu}\\ &=\frac{(-1)^n}{2^{2n}i}\oint_{|u|=1を反時計回り} (\dots+(-1)^n \binom{2n}{n}+\cdots)\frac{du}{u} \\ &=\frac{(-1)^n}{2^{2n}i}\oint_{|u|=1を反時計回り} (\dots+(-1)^n \binom{2n}{n}\frac{1}{u}+\cdots)du,  \\ \end{align*}

留数計算より、

\begin{align*} \frac{(-1)^n}{2^{2n}i}&\oint_{|u|=1を反時計回り} (\dots+(-1)^n \binom{2n}{n}\frac{1}{u}+\cdots)du \\ &= \frac{(-1)^n}{2^{2n}i}(-1)^n \binom{2n}{n}2\pi i \\ &= \frac{\pi}{2^{2n-1}} \binom{2n}{n}, \end{align*}

よって最終的に、
$$
\int_{-\pi}^{\pi}\sin(x)^{2n}dx = \frac{\pi}{2^{2n-1}} \binom{2n}{n}
$$
となります。