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2019年12月22日日曜日

ツイッター自作問題 解答4

 このツイートの問題の答えです。
オイラーの公式
e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)
 を用いて、与式を変形すると、

    \begin{align*} \int_{-\pi}^{\pi}\sin(x)^{2n}dx &= \int_{-\pi}^{\pi}(\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i})^{2n}dx \\ &= \frac{1}{(2i)^{2n}}\int_{-\pi}^{\pi}(e^{ix}-e^{-ix})^{2n}dx \\ &= \frac{(-1)^n}{2^{2n}}\int_{-\pi}^{\pi}(e^{i\pi}-e^{-i\pi})^{2n}dx, \end{align*}
ここで、u=e^{ix}とおくと、du=ie^{ix}dx, dx=du/(iu)で、積分範囲は|u|=1を反時計回りに回る範囲となります。従って、

    \begin{align*} \frac{(-1)^n}{2^{2n}}&\int_{-\pi}^{\pi}(e^{i\pi}-e^{-i\pi})^{2n}dx \\ &= \frac{(-1)^n}{2^{2n}}\oint_{|u|=1を反時計回り}(u-u^{-1})^{2n}\frac{du}{iu}\\ &=\frac{(-1)^n}{2^{2n}i}\oint_{|u|=1を反時計回り} (\dots+(-1)^n \binom{2n}{n}+\cdots)\frac{du}{u} \\ &=\frac{(-1)^n}{2^{2n}i}\oint_{|u|=1を反時計回り} (\dots+(-1)^n \binom{2n}{n}\frac{1}{u}+\cdots)du,  \\ \end{align*}

留数計算より、

    \begin{align*} \frac{(-1)^n}{2^{2n}i}&\oint_{|u|=1を反時計回り} (\dots+(-1)^n \binom{2n}{n}\frac{1}{u}+\cdots)du \\ &= \frac{(-1)^n}{2^{2n}i}(-1)^n \binom{2n}{n}2\pi i \\ &= \frac{\pi}{2^{2n-1}} \binom{2n}{n}, \end{align*}
よって最終的に、
\int_{-\pi}^{\pi}\sin(x)^{2n}dx = \frac{\pi}{2^{2n-1}} \binom{2n}{n}
となります。

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