ツイッター自作問題 解答5

このツイートの問題の答えです。

＜問題＞
De^xをe^xを掛けてからxで微分する作用素を表すことにします。
(De^x)(De^x)…(De^x)x= (De^x)^n x(xに(De^x)をn回施す)を実行してください。 pic.twitter.com/nqhiWNokbD

— toyo (@toyo9) November 7, 2019

準備として、次の定理を示します。

定理
$f$:無限回微分可能関数, $n \in \mathbb{N}$を取ります。
$$(De^{nx})f(x)=e^{nx}(D+n)f(x).$$
証明:
$$\begin{align*} (De^{nx})f(x) &= D(e^{nx}f(x)) \\ &= ne^{nx}f(x) + e^{nx}(Df)(x) \\ &= e^{nx}(D+n)f(x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\square \end{align*}$$
この定理を繰り返し用いて、$(De^{x})^{n}x$を変形していくと、
$$\begin{align*} (De^{x})^{n}x &= (De^{x})^{n-1}(De^{x}(x)) \\ &= (De^{x})^{n-1}(e^{x}(D+1)(x)) \\ &= (De^{x})^{n-2}(D(e^{2x}(D+1)(x))) \\ &= (De^{x})^{n-2}(e^{2x}(D+2)(D+1)(x)) \\ &= \dots \\ &= e^{nx}(D+n)(D+n-1)\cdots(D+2)(D+1)(x)\\ &= e^{nx}((\dots)D^2+n! \left(1+\cdots+\frac{1}{n} \right)D+n!)(x) \\ &= e^{nx}\left(n!\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}+n!x \right) \end{align*}$$
となります。