ツイッター自作問題 解答6

このツイートの問題の答えです。

＜問題＞
無限和S:=1/2+(1+1/2)1/(2^2)+(1+1/2+1/3)1/(2^3)+…
の極限値を求めてください。 pic.twitter.com/DSTsnQwHWo

— toyo (@toyo9) March 16, 2020

無限和
\begin{align}
\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots \;\;\;(|x|<1)
\end{align}
の両辺を0からxまで積分すると、
\begin{align}
\int_0^{x}\frac{du}{1-u} &= \int_0^{x}(1 + u + u^2 + \cdots)du \notag \\
-\log (1-x) &= x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots \tag{2}。
\end{align}
式(1)と式(2)の積をとると、
\begin{align*}
\frac{-\log (1-x)}{1-x} &= \left(1 + x + x^2 + \cdots \right) \left(x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots \right) \\
&= x + \left(1+\frac{1}{2} \right)x^2 + \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3} \right)x^3 + \cdots \\
&= \sum_{k=1}^{\infty}\left(\sum_{l=1}^{k}\frac{1}{l}\right)x^k \\
&= \sum_{k=1}^{\infty}H_{k}x^k \;\;\;(|x|<1)
\end{align*}
となります。これより、
$$
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_{k}}{2^k}
= \left.\frac{-\log (1-x)}{1-x} \right|_{x=\frac{1}{2}}
= \frac{-\log (\frac{1}{2})}{\frac{1}{2}}
= 2\log(2)
$$
となります。