線形代数 固有値問題 具体例1

次の行列$A$の固有値、固有ベクトルを求め、$A$を対角化します。
$$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$$
$A$の固有値を$\lambda$、固有ベクトルを$v$とすると、
$$\begin{align*} Av  &= \lambda v \\ (A - \lambda E)v &= 0 \end{align*}$$
$v\neq 0$とすると、$(A - \lambda E)$は正則でないので、
$$\begin{align*} |A - \lambda E| &= 0 \\ \begin{vmatrix} 2- \lambda & 1 \\ 1 & 2 - \lambda \end{vmatrix} &= 0 \\ (2- \lambda)^2 - 1 &= 0 \\ (1- \lambda)(3- \lambda) &= 0 \end{align*}$$
よって、
$$\lambda = 1 または 3$$
となります。$\lambda_1 = 1、\lambda_2 = 3$とし、$\lambda_1$対する固有ベクトルを$v_1={}^t\!\begin{pmatrix}x_1 & y_1\end{pmatrix}$、$\lambda_2$対する固有ベクトルを$v_2={}^t\!\begin{pmatrix}x_2 & y_2\end{pmatrix}$とします。$v_1$を求めることにすると、
$$\begin{align*} (A - \lambda_1 E)v_1 &= 0 \\ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align*}$$
これを満たす$v_1$として、
$$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$$
を取ります。次に、$v_2$を求めることにすると、
$$\begin{align*} (A - \lambda_2 E)v_2 &= 0 \\ \begin{pmatrix} -1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align*}$$
これを満たす$v_2$として、
$$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$$
を取ります。よって、$A$の2つ持つ固有値と固有ベクトルの組として、
$$(1, \begin{pmatrix}1 \\ -1\end{pmatrix}), (3, \begin{pmatrix}1 \\ 1\end{pmatrix})$$
が取れます。$P=\begin{pmatrix}v_1 & v_2 \end{pmatrix}$とおいて、Aを対角化すると、
$$\begin{align*} AP &= A\begin{pmatrix}v_1 & v_2 \end{pmatrix} \\      &= \begin{pmatrix}Av_1 & Av_2 \end{pmatrix} \\      &= \begin{pmatrix}1v_1 & 3v_2 \end{pmatrix} \\      &= \begin{pmatrix}v_1 & v_2 \end{pmatrix}            \begin{pmatrix}1 & 0 \\                                    0 & 3            \end{pmatrix} \\      &= P            \begin{pmatrix}1 & 0 \\                                    0 & 3            \end{pmatrix} \\ A &= P            \begin{pmatrix}1 & 0 \\                                    0 & 3            \end{pmatrix}         P^{-1} \\ \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}^{-1} \end{align*}$$
となります。