2^n + mに関する問題

ちょっとした計算を問題にしてみました。
$a_{(n, m)} = 2^n + m$に対して、次の条件を満たす$f_1$~$f_4$を求めてください。
$$
(1)\;\;f_1 (a_{(n, 1)}) = a_{(n+1, 1)}
$$

$$
(2)\;\;f_2 (a_{(n, m)}) = a_{(n+1, m)}
$$

$$
(3)\;\;f_3 (a_{(n, 1)}) = a_{(2n, 1)}
$$

$$
(4)\;\;f_4 (a_{(n, m)}) = a_{(2n, m)}
$$

(2)は(1)の一般化になっており、(4)は(3)の一般化になっています。

フィボナッチ数列に関する問題(2)

フィボナッチ数列に関する面白い問題を書いておきます。
前にも書きましたが、フィボナッチ数列F(n)は次のように定義されています。

・F(1) = F(2) = 1 
・F(n) + F(n+1) = F(n+2)

では、次の等式を示してください。

Σ_(n=1)^∞{1/(F(n)F(n+2))} = 1

ヒント：
Σ_(n=1)^∞{a(n) - a(n+1)}
= {a(1)-a(2)}+{a(2)-a(3)}+{a(3)-a(4)}… = a(1)
これを使います。

ぷよ動画(3)「15連鎖」

1p：toyo　2p：相手
対戦での、15連鎖です。
最初の折り返しの青を、青→青とつないで、連鎖を伸ばしてみました。
赤→青で伸ばしてもよいですが、連鎖数は青→青のほうが大きくなります。
欠点としては、立てた二つの青が消えやすく、連鎖が途中で止まってしまう可能性が高いところです。
全体としては、速さもなかなかで、うまく出来たと思います。

不等式の問題(2)

不等式関連の問題第二弾です。

a,b,c,dを正の実数とし、a/b < c/dの時、次を証明せよ。

a/b < (a+c)/(b+d) < c/d

不等式の問題

とても簡単な問題を書いておきます。

0と1の間の実数を正の実数に掛けると、小さくなることを証明せよ。

フィボナッチ数列に関する問題

あの有名なフィボナッチ数列に関する問題です。

フィボナッチ数列F(n)は次のように定義されています。
・F(1) = F(2) = 1
・F(n) + F(n+1) = F(n+2)

具体的に何項か書き下すと、
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ・・・
となります。

次に、フィボナッチ型数列a(n)を次の条件を満たす数列とします。
・a(n) + a(n+1) = a(n+2)

要するに、フィボナッチ型数列とは、フィボナッチ数列の2番目の条件だけを満たす数列で、第一項と第二項の値に制限はありません。

当然、定義からフィボナッチ数列はフィボナッチ型数列です。

次に、数列b(n)を次のように定義します。

b(n) = F(1) + F(2) + ・・・ + F(n-1) + F(n)

b(n)+1がフィボナッチ型数列であることを証明せよ。

ぷよ動画(2)「回転なし11連鎖」

今回は、コンピュータ相手に回転なしで11連鎖を組んでいます。
回転なしだと、赤青と青赤の区別があったりして難しいですが、これはこれでなかなか面白い遊び方だと思います。

ぷよ動画(1)「ミルフィーユ連鎖」

ぷよぷよ（ぷよぷよフィーバーのクラシックルール）のリプレイを動画にする方法を身につけたので、しばらくは、ぷよ動画とそのちょっとした説明という具合で書いていこうと思います。参考していただけたら幸いです。

1p（左側）:toyo　2p（右側）:相手
最初から狙って組んでいたわけではないですが、「ミルフィーユ」と呼ばれる連鎖を組めたので、速攻で仕掛けて、当たっています。
ですが、相手のネクスト（次に来る組ぷよ）に赤赤が来ていて、あと一手で発火できる状態だったので、それを確認できていれば、打たずに伸ばす選択をした方が良かったかもしれません。
発火のところで、ちぎって上の赤を三つにすると威力が増したのですが、ちぎると遅くなるので、早さ重視でちぎらずに発火しました。

整数の問題（７）

ちょっと変わった関数に関する問題です。

メビウス関数μ(n)(n:正整数)を次のように定義する。

・μ(1)=1
・nが平方数を因数として持つ時、μ(n)=0
・nがm個の互いに異なる素数の積の時、μ(n)=(-1)^m

（計算例）
μ(3) = (-1)^1 = -1
μ(4) = μ(2^2) = 0
μ(15) = μ(3×5) = (-1)^2 = 1
μ(27) = μ(3^3) = μ((3^2)×3) = 0
μ(42) = μ(2×3×7) = (-1)^3 = -1
μ(60) = μ((2^2)×3×5) = 0

μ(n) + μ(n+2)の値について考える。

nが偶数のとき、μ(n) + μ(n+2) ≠ 2であることを証明せよ。

ヒントは、メビウス関数の2番目の定義に注目することです。

最大整数関数の応用問題（３）

今回の方が簡単かもしれません。

実数xを超えない最大の整数を[x]と表すことにする。

nを正整数とする。最大整数関数を応用して、次のような出力が得られる関数f(n)を作ってください。
nが偶数のとき、f(n)=n
nが奇数のとき、f(n)=n-1

実は、最大整数関数を使わずに作ることもできます。