最大整数関数の応用問題（２）

今度は実用的かもしれない問題です。

実数xを超えない最大の整数を[x]と表すことにする。

この関数を応用して、正の実数xを小数第一位から四捨五入する関数を作ってください。

「最大整数関数の応用問題」に[x]の計算例があるので、参考にしてみてください。

最大整数関数の応用問題

最大整数関数（または床関数）[x]のちょっとした応用についての問題です。

実数xを超えない最大の整数を[x]と表すことにする。
例：[2.147]＝2、　[50]＝50、　[-6.03]＝-7、　[π]＝3

さて、x>0とするとこの関数[x]は、見方を変えると「xの小数部分を小数第一位から切り捨てる関数」とも見ることができる。
では、「xの小数部分を小数第二位から切り捨てる関数」を作ってください。

ピタゴラスの三つ組の問題

また整数論の本からの出題です。

等式 a^2 + b^2 = c^2を満たす三つの正整数(a,b,c)を「ピタゴラスの三つ組」と呼ぶ。
そして、1以外の正の公約数を持たないピタゴラスの三つ組を「原始ピタゴラスの三つ組」と呼ぶ。

(3,4,5)が唯一の(a,a+d,a+2d)（等差数列を成している）という形した原始ピタゴラスの三つ組であることを証明せよ。

興味深い結果で、なおかつ、解きやすい問題だと思いました。

数列の問題（３）

整数論の本からの問題です。

次の数列にはある規則があります。□に当てはまる数字を求めよ。

5, 8, 21, 62, 86, 39, □, 38,・・・

かなり難しいと思いますが、分かった時にとてもすっきりする問題だと思います。

n(n+1)方陣問題

魔方陣に関する自作の問題です。

n行n+1列の長方形のマス目を考えます。
そこに、1からn(n+1)の自然数を入れて、
すべての行の和を等しくし、すべての列の和を等しくする。
（正方形ではないので、行の和と列の和は等しくできない。斜めは考えない。）
このことが、不可能であることを示せ。

行の和と列の和を見るのがポイントです。

計算問題

黄金数を見ていたら、思いついた問題です。

aは次の二つの条件を満たす実数である。

a > 0
a^2 - a - 1 = 0

a^4 + a^3 + a^2 + 2a + 1の値を計算せよ。

結構計算が大変そうですが、うまく計算する方法があります。

因数分解の問題

単純な因数分解の問題です。

次の式を因数分解せよ。

(1-x^2)(1-y^2) - 4xy

使う等式は、どちらもお馴染みの展開（因数分解）の等式ですが、

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2　と　a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)　です。

4×4穴埋め問題(2)

「4×4穴埋め問題」の第二弾です。

4×4のマス目のあいている場所にぷよを配置して、４連鎖を作ってください。



1連鎖目が分かれば、あとは流れるように解けると思います。

4×4穴埋め問題

以前載せた「4×4で4連鎖の問題」の穴埋め版です。

4×4のマス目のあいている場所にぷよを配置して、４連鎖を作ってください。

消える色の順番が分かれば、すぐに解けると思います。

19を分ける問題（自然数）

数学パズルの問題を紹介します。

和が19となる自然数の積を考えます。

例：19 = 5+7+7→5×7×7 = 245

この積が最大になる19の分け方を求めよ。

ヒントは2^3<3^2です。

整数の問題（６）

自然数の中の合成数（素数でない数）についての問題です。

自然数の集合に、任意の個数の連続する合成数が存在することを証明せよ。

ヒントは階乗を使います。