黄金数を見ていたら、思いついた問題です。
aは次の二つの条件を満たす実数である。
a > 0
a^2 - a - 1 = 0
a^4 + a^3 + a^2 + 2a + 1の値を計算せよ。
結構計算が大変そうですが、うまく計算する方法があります。
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パズル、ゲーム、数学（算数？）などの好きなことを書き留めていきます。
問題の答えです。
返信削除a > 0...(1), a^2 - a - 1 = 0...(2),
N = a^4 + a^3 + a^2 + 2a + 1とします。
(2)→a^2 = a + 1を使って、Nをaの一次式にします。
N = (a + 1)^2 + a(a + 1) + (a + 1) + 2a + 1
= (a^2 + 2a + 1) + a^2 + a + 3a + 2
= 2a^2 + 6a + 3 = 2(a + 1) + 6a + 3 = 8a + 5
となります。ここで、(2)のaの二次方程式を解いて、aの値を求めます。(1)より、
a = (1 + √5)/2 よって、Nの値は、
N = {(1 + √5)/2}*8 + 5 = 9 + 4√5 となります。