ツイッター自作問題 解答12

この問題の答えです。

＜問題＞
実数x(|x|<1)に対して、f(x)とg(x)を次のように定義します。
f(x):=x-xx/2+x^3/3-…。
g(x):=1+x+xx/2!+x^3/3!+…。
次の等式が成り立つことを示してください。
g(f(x))=1+x。 pic.twitter.com/YqCoP6Z1SP

— toyo (@toyo9) September 21, 2020

関数$F$に対して、$F'(x)$を$F(x)$の導関数とします。 次の二つの性質を確認します。 \begin{align} f'(x)=\frac{1}{x+1} \end{align} \begin{align} g'(x)=g(x) \end{align} ＜(1)の確認＞ \begin{align*} f'(x) &= \left(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \right)' \\ &= 1 - x + x^2 - \cdots \\ &=\frac{1}{1+x}。 \end{align*} ＜(2)の確認＞ \begin{align*} g'(x)&= \left(1+ x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \right)'\\ &= 1+ \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} \cdots \\ &= g(x)。 \end{align*} 次に、 $$ F(x):=g(f(x)) $$ とおきます。 $F'(x)$と$F''(x)$を求めると、 \begin{align*} F'(x)&=(g(f(x)))'=f'(x)g'(f(x)) \\ &= \frac{g(f(x))}{x+1}\\ &= \frac{F(x)}{x+1} \end{align*} \begin{align*} F''(x)&= \left(\frac{F(x)}{x+1} \right)' \\ &= \frac{F'(x)(x+1) - F(x)}{(x+1)^2} \\ &= \frac{ \frac{F(x)(x+1)}{x+1} - F(x)}{(x+1)^2} \\ &= \frac{F(x) - F(x)}{(x+1)^2} = 0 \end{align*} となります。 $F''(x) = 0$の両辺を$x$で(二回)積分すると、 \begin{align} \frac{g(f(x))}{x+1} = \frac{F(x)}{x+1} = F'(x) = A。 \end{align} \begin{align} g(f(x)) = F(x) = Ax + B。 \end{align} となります($A$、$B$は定数)。 $f(0)=0$、$g(0)=1$と(3)より、 $$ A = \frac{g(f(0))}{0+1} = g(0) = 1。 $$ 同様に(4)より、 $$ A \times 0 + B = B = g(f(0)) = g(0) = 1。 $$ ゆえに、 $$ g(f(x)) = x + 1。 $$ となります。