ツイッター自作問題 解答10

この問題の答えです。

＜問題＞
全てのn(n≧2)次正方行列Aに対して、
^tA=T_1 A T_2 (^tA:Aの転置行列)
となるようなn次正方行列T_1，T_2は存在しないことを示してください。 pic.twitter.com/nPYL46MqGZ

— toyo (@toyo9) June 27, 2020

全ての$n(\geqq 2)$次正方行列$A$に対して、${}^tA = T_1 A T_2$となるn次正方行列$T_1$、$T_2$が存在すると仮定します。 $A=E$:単位行列とすると、 \begin{align*} {}^tE &= T_1 E T_2 \\ E &= T_1T_2 \\ T_2 &= T_{1}^{-1} \end{align*} であることが分かります。 次に、全ての$n$次正方行列たち$A$、$B$に対して、${}^t(AB)={}^tB{}^tA$が成り立つことから、 \begin{align*} {}^t(AB) &= {}^tB{}^tA \\ T_1 AB T_{1}^{-1} &= T_1 B T_{1}^{-1}T_1 A T_{1}^{-1} \\ T_1 AB T_{1}^{-1} &= T_1 BA T_{1}^{-1} \\ AB &= BA \end{align*} が全ての$n$次正方行列たち$A$、$B$に対して成り立つことになります。しかし、これは一般的には成り立たないので矛盾です。 よって、全ての$n$次正方行列$A$に対して、${}^tA = T_1 A T_2$となるようなn次正方行列$T_1$、$T_2$は存在しません。