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2020年7月26日日曜日

ツイッター自作問題 解答10

この問題の答えです。 全ての$n(\geqq 2)$次正方行列$A$に対して、${}^tA = T_1 A T_2$となるn次正方行列$T_1$、$T_2$が存在すると仮定します。 $A=E$:単位行列とすると、 \begin{align*} {}^tE &= T_1 E T_2 \\ E &= T_1T_2 \\ T_2 &= T_{1}^{-1} \end{align*} であることが分かります。 次に、全ての$n$次正方行列たち$A$、$B$に対して、${}^t(AB)={}^tB{}^tA$が成り立つことから、 \begin{align*} {}^t(AB) &= {}^tB{}^tA \\ T_1 AB T_{1}^{-1} &= T_1 B T_{1}^{-1}T_1 A T_{1}^{-1} \\ T_1 AB T_{1}^{-1} &= T_1 BA T_{1}^{-1} \\ AB &= BA \end{align*} が全ての$n$次正方行列たち$A$、$B$に対して成り立つことになります。しかし、これは一般的には成り立たないので矛盾です。 よって、全ての$n$次正方行列$A$に対して、${}^tA = T_1 A T_2$となるようなn次正方行列$T_1$、$T_2$は存在しません。

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