ツイッター自作問題 解答11

この問題の答えです。

＜問題＞
D:xでの微分作用素、P(x):xの多項式として、
(1/(1-D))f(x)=f(x)+f'(x)+f''(x)+f'''(x)+…
を示してください。 pic.twitter.com/fNR8GD87Ej

— toyo (@toyo9) August 31, 2020

$P(x)$を$x$の$n$次多項式とし、 $$ Q(x) := P(x) + DP(x) + D^2 P(x) + D^3 P(x) + \cdots $$ とします。
$(1-D)Q(x)=P(x)$を示します。$P(x)$は$n$次多項式なので、全ての整数$m>n$に対して、$D^m P(x) = 0$となります。よって、 $$ Q(x) = P(x) + DP(x) + D^2 P(x) + \cdots + D^n P(x) $$ が成り立ちます。これから$(1-D)Q(x)$を計算すると、 \begin{align*} (1-D)Q(x) = P(x) &+ DP(x) + \cdots + D^n P(x) \\ &- (DP(x)+ \cdots + D^n P(x) + D^{n+1} P(x)) \\ = P(x) &\;\;\;(D^{n+1} P(x) = 0) \end{align*} となります。
従って、$1/(1-D)$の定義より、 \begin{align*} \frac{1}{1-D}P(x) &= Q(x) \\ &= P(x) + DP(x) + D^2 P(x) + D^3 P(x) + \cdots \end{align*} が示されました。