魔方陣に関する自作の問題です。
n行n+1列の長方形のマス目を考えます。
そこに、1からn(n+1)の自然数を入れて、
すべての行の和を等しくし、すべての列の和を等しくする。
（正方形ではないので、行の和と列の和は等しくできない。斜めは考えない。）
このことが、不可能であることを示せ。
行の和と列の和を見るのがポイントです。
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パズル、ゲーム、数学（算数？）などの好きなことを書き留めていきます。
問題の答えです。
返信削除まず、1からn(n+1)までの和を計算します。
Σ[k=1,n]k（1からnまでの和）＝n(n+1)/2より、
Σ[k=1,n(n+1)]k＝n(n+1){n(n+1)+1}/2
となります。
次に、行の和について考えると、全ての行の和を等しくすることができるとすれば、先ほどのマス目全部の和（1からn(n+1)までの和）を行の数nで割り切れなければなりません。
同様に、列の和について考えると、全ての列の和を等しくすることができるとすれば、マス目全部の和を列の数(n+1)で割り切れなければなりません。
つまり、マス目全部の和は、nで割り切れ、かつ(n+1)で割り切れなければなりません。
nと(n+1)の最大公約数が1である（互いに素）ことから、マス目全部の和は、n(n+1)で割り切れなければなりません。
試しに、（マス目全部の和）/{n(n+1)}を計算してみると、
[n(n+1){n(n+1)+1}/2]/{n(n+1)} = {n(n+1)+1}/2
{n(n+1)+1}/2が整数ならば、マス目全部の和がn(n+1)で割り切れたことになります。
しかし、n(n+1)+1は奇数なので、{n(n+1)+1}/2は整数ではない。
なぜかというと、nが偶数のときは、n(n+1)は偶数である。（2を因数にもつため）
nが奇数のときは、(n+1)は偶数なので、n(n+1)は偶数である。
より、n(n+1)は必ず偶数である。
従って、n(n+1)+1は奇数である。
以上より、マス目全部の和はn(n+1)で割り切れないので、「全ての行の和を等しくし、全ての列を和を等しくする」このことは不可能である。