また整数論の本からの出題です。
等式 a^2 + b^2 = c^2を満たす三つの正整数(a,b,c)を「ピタゴラスの三つ組」と呼ぶ。
そして、1以外の正の公約数を持たないピタゴラスの三つ組を「原始ピタゴラスの三つ組」と呼ぶ。
(3,4,5)が唯一の(a,a+d,a+2d)（等差数列を成している）という形した原始ピタゴラスの三つ組であることを証明せよ。
興味深い結果で、なおかつ、解きやすい問題だと思いました。
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パズル、ゲーム、数学（算数？）などの好きなことを書き留めていきます。
問題の答えです。
返信削除素直に、原始ピタゴラスの三つ組(a,a+d,a+2d)をピタゴラスの定理を満たすので、当てはめて書き下すと、
a^2 + (a+d)^2 = (a+2d)^2
a^2 + a^2 + 2ad + d^2 = a^2 + 4ad + 4d^2
a^2 = 2ad + 3d^2
a^2 - 2ad - 3d^2 = 0
左辺を因数分解すると、
(a-3d)(a+d) = 0
a-3d = 0 または a+d = 0
a+d = 0とすると、原始ピタゴラスの三つ組(a,a+d,a+2d)が正整数の組であることに反する。従って、
a-3d = 0, a = 3d、ゆえに、
(a,a+d,a+2d)=(3d,4d,5d)
d>1とすると、(3d,4d,5d)が1以外の正の公約数を持ってしまうので（原始ピタゴラスの三つ組の定義に反する）、d=1。よって、(a,a+d,a+2d)=(3,4,5)である。