数学パズルの問題を紹介します。
和が19となる自然数の積を考えます。
例：19 = 5+7+7→5×7×7 = 245
この積が最大になる19の分け方を求めよ。
ヒントは2^3<3^2です。
skip to main |
skip to sidebar
パズル、ゲーム、数学（算数？）などの好きなことを書き留めていきます。
パズル、ゲーム、数学（算数？）などの好きなことを書き留めていきます。
問題の答えです。
返信削除19を二つずつに分けていくことを考えます。
どのように分けると積が最大になる考えます。
2nをn+aとn-aに分けたとすると、
(n+a)(n-a)=n^2 - a^2より、
二つに分けるときは、分けた二つの数の差が最小の時、積が最大になります。
つまり、2n(偶数)の時は、nとn、2n+1(奇数)の時は、n+1とnに分けると積が最大になります。
次に、二つに分けると積が大きくなる数の範囲を考えます。
2nをnとnに分けた時に、2n < n^2となるnの範囲を求めると、
両辺をnで割り、2 < nより、
4よりも大きい偶数は二つに分けた方が積が大きくなります。
2n+1をn+1とnに分けた時に、2n+1 < n(n+1)となるnの範囲を求めると、
整理すると、n^2 - n - 1 > 0この二次不等式を解くと、
n≧0をより、n > (1+√5)/2 ≒ 1.615なので、
3よりも大きい奇数は二つに分けた方が積が大きくなります。
これらをもとに、19を分けていくと、
19→9+10→(4+5)+(5+5)→4+(2+3)+(2+3)+(2+3)
= 4+2+2+2+3+3+3
となります。
これが最大と思いきや、ここでヒントをみると、
2^3 < 3^2 なので、2が三つよりも3が二つの方が積が大きくなります。よって、
19 = 4+(3+3)+3+3+3 → 4×3^5 = 972
が最大になります。