あの有名なフィボナッチ数列に関する問題です。
フィボナッチ数列F(n)は次のように定義されています。
・F(1) = F(2) = 1
・F(n) + F(n+1) = F(n+2)
具体的に何項か書き下すと、
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ・・・
となります。
次に、フィボナッチ型数列a(n)を次の条件を満たす数列とします。
・a(n) + a(n+1) = a(n+2)
要するに、フィボナッチ型数列とは、フィボナッチ数列の2番目の条件だけを満たす数列で、第一項と第二項の値に制限はありません。
当然、定義からフィボナッチ数列はフィボナッチ型数列です。
次に、数列b(n)を次のように定義します。
b(n) = F(1) + F(2) + ・・・ + F(n-1) + F(n)
b(n)+1がフィボナッチ型数列であることを証明せよ。
2013年5月31日金曜日
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問題の答えです。
返信削除b(n)+1がフィボナッチ型数列であることを示すには、フィボナッチ型数列の定義から、
{b(n)+1} + {b(n+1)+1} = b(n+2)+1
が成り立つことを確認すればよいです。
左辺から出発して、右辺と等しいことを示します。
{b(n)+1} + {b(n+1)+1}
= {F(1) + F(2) + ・・・ + F(n-1) + F(n)}
+ {F(1) +F(2) + F(3) + ・・・ + F(n) + F(n+1)} + 1 + 1
= F(1) + {F(1) + F(2)} + {F(2) + F(3)} + ・・・ + {F(n-1) + F(n)} + {F(n) + F(n+1)} + 1 + 1
ここで、F(n) + F(n+1) = F(n+2)より、
= F(1) + F(3) + F(4) + ・・・ + F(n+1) + F(n+2) + 1 + 1
F(2) = 1 だったので、
= F(1) + F(2) + F(3) + F(4) + ・・・ + F(n+1) + F(n+2) + 1
= b(n+2)+1
これで、{b(n)+1} + {b(n+1)+1} = b(n+2)+1が確認できました。