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2013年12月1日日曜日

2^n + mに関する問題

ちょっとした計算を問題にしてみました。
$a_{(n, m)} = 2^n + m$に対して、次の条件を満たす$f_1$~$f_4$を求めてください。
$$
(1)\;\;f_1 (a_{(n, 1)}) = a_{(n+1, 1)}
$$

$$
(2)\;\;f_2 (a_{(n, m)}) = a_{(n+1, m)}
$$

$$
(3)\;\;f_3 (a_{(n, 1)}) = a_{(2n, 1)}
$$

$$
(4)\;\;f_4 (a_{(n, m)}) = a_{(2n, m)}
$$

(2)は(1)の一般化になっており、(4)は(3)の一般化になっています。

1 件のコメント:

  1. 問題の答えです。

    (1)
    a_(n+1, 1) = 2^(n+1) + 1 = 2(2^n + 1) - 1 = 2a_(n, 1) - 1
    より、
    f_1(x) = 2x - 1
    とすれば、
    f_1(a_(n, 1)) = a_(n+1, 1)
    を満たします。

    (2)
    a_(n+1, m) = 2^(n+1) + m = 2(2^n + m) - m = 2a_(n, m) - m
    より、
    f_2(x) = 2x - m
    とすれば、
    f_2(a_(n, m)) = a_(n+1, m)
    を満たします。

    (3)
    a_(2n, 1) = 2^(2n) + 1 = (2^n)^2 + 1
    = (2^n + 1 - 1)^2 + 1 = (a_(n, 1) - 1)^2 + 1
    より、
    f_3(x) = (x - 1)^2 + 1
    とすれば、
    f_3(a_(n, 1)) = a_(2n, 1)
    を満たします。

    (4)
    a_(2n, m) = 2^(2n) + m = (2^n)^2 + m
    = (2^n + m - m)^2 + m = (a_(n, m) - m)^2 + m
    より、
    f_4(x) = (x - m)^2 + m
    とすれば、
    f_4(a_(n, m)) = a_(2n, m)
    を満たします。

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