ちょっと変わった関数に関する問題です。
メビウス関数μ(n)(n:正整数)を次のように定義する。
・μ(1)=1
・nが平方数を因数として持つ時、μ(n)=0
・nがm個の互いに異なる素数の積の時、μ(n)=(-1)^m
（計算例）
μ(3) = (-1)^1 = -1
μ(4) = μ(2^2) = 0
μ(15) = μ(3×5) = (-1)^2 = 1
μ(27) = μ(3^3) = μ((3^2)×3) = 0
μ(42) = μ(2×3×7) = (-1)^3 = -1
μ(60) = μ((2^2)×3×5) = 0
μ(n) + μ(n+2)の値について考える。
nが偶数のとき、μ(n) + μ(n+2) ≠ 2であることを証明せよ。
ヒントは、メビウス関数の2番目の定義に注目することです。
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パズル、ゲーム、数学（算数？）などの好きなことを書き留めていきます。
問題の答えです。
返信削除初めに、問題の条件を考えてみます。
μ(n)は定義から、-1,0,1のどれかの値をとるので、
μ(n) + μ(n+2) ≠ 2ということは、
μ(n) = 1 かつ μ(n+2) = 1ではないということです。つまり、
μ(n) ≠ 1 または μ(n+2) ≠ 1。結局、
μ(n)かμ(n+2)が1でないことを確かめればよいことになります。
問題の条件では、nは偶数です。
4が平方数であることを見越して、nを4で割った余りで場合分けすると、
n = 4k(n：4の倍数のとき) または 4k + 2(余り2のとき)
n = 4kのときは、μ(n) = μ(4k) = 0なので、問題の条件を満たします。
n = 4k + 2のときは、μ(n + 2) = μ(4k + 4) = μ(4(k+1)) = 0なので、こちらも問題の条件を満たします。
よって、nが偶数のとき、μ(n) + μ(n+2) ≠ 2
となります。