線形代数 n次元ベクトル、行列とそれらの演算

線形代数の主役である、n次元ベクトルと行列について述べます。n次元ベクトルとは、数(実数など体の元)をn個縦か横に並べたものです。縦に並べたものを縦ベクトルまたは列ベクトル、横に並べたものを横ベクトルまたは行ベクトルと呼びます。
例：
$$2次元縦ベクトル \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix},\;\; 3次元縦ベクトル \begin{pmatrix} \pi \\ e \\ \gamma \end{pmatrix}$$
$$2次元横ベクトル \begin{pmatrix} 73 & 91 \end{pmatrix},\;\; 3次元横ベクトル \begin{pmatrix} e+\tau & \sigma & \sqrt{101} \end{pmatrix}$$
ここからは特に断らない限りベクトルと言えば、3次元縦ベクトルのこととします。次に、ベクトルの演算についてです。ベクトルに次の3つの演算を定義します。
スカラー(数)$a$, ベクトル${}^t\!\begin{pmatrix}x & y & z \end{pmatrix}$に対して、
$$\begin{equation} a\begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix}:= \begin{pmatrix}ax \\ ay \\ az \end{pmatrix} \end{equation}\;\;(スカラー倍)$$
2つのベクトル${}^t\!\begin{pmatrix}x_1 & y_1 & z_1 \end{pmatrix}$、${}^t\!\begin{pmatrix}x_2 & y_2 & z_2 \end{pmatrix}$に対して、
$$\begin{equation} \begin{pmatrix}x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix}:= \begin{pmatrix}x_1 + x_2 \\ y_1 + y_2 \\ z_1 + z_2 \end{pmatrix} \end{equation}\;\;(和)$$
ただし、和は同じ形状の2つのベクトルにのみ定義されます。
横ベクトル$\begin{pmatrix}x_1 & y_1 & z_1 \end{pmatrix}$、縦ベクトル${}^t\!\begin{pmatrix}x_2 & y_2 & z_2 \end{pmatrix}$に対して、
$$\begin{equation} \begin{pmatrix}x_1 & y_1 & z_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix}:= x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 \end{equation}\;\;(内積)$$
左側が横ベクトルで右側が縦ベクトルで無ければならず、かつ長さも同じであるベクトルに対して定義されます。
※n次元の複素ベクトルの内積とは異なります。複素ベクトル内積は$\overline{x_1} x_2 + \overline{y_1} y_2 + \overline{z_1} z_2$となります。
例：
$$\begin{equation*} 3\begin{pmatrix}8 \\ 3 \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}24 \\ 9 \\ 2 \end{pmatrix} \end{equation*}$$
$$\begin{equation*} \begin{pmatrix}\pi \\ \frac{1}{3} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}e - \pi \\ \frac{2}{3} \end{pmatrix}= \begin{pmatrix}e \\ 1\end{pmatrix} \end{equation*}$$
$$\begin{equation*} \begin{pmatrix}\sqrt{2} & 2^3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}\sqrt{8} \\ 2^4 \\ 1 \end{pmatrix}= 4 + 2^7 + 0 = 132 \end{equation*}$$

さて、ベクトルについては一段落とし、行列の話に移ります(ベクトルも出てきますが)。n行m列の行列(簡単に(n, m)行列とも呼ぶことにします)とは、mn個の数(実数など体の元)を縦n横mの長方形上に並べたものです。特に、$m=n$の場合は、n次正方行列と呼びます。実は、n行1列の行列はn次元縦ベクトル、1行m列の行列はm次元横ベクトルになっているので、行列はベクトルを一般化したものと見ることもできます。
例：
$$2行3列の行列 \begin{pmatrix}  1  &  4 &    7 \\ 10 & 13 & 16 \end{pmatrix},\;\;$$
$$2行2列の行列(2次正方行列) \begin{pmatrix} \pi & e^{\pi} \\ \log(2) & \gamma \end{pmatrix},\;\;$$
$$3行1列の行列(3次元縦ベクトル) \begin{pmatrix} e+\tau \\ \sigma \\ \sqrt{101} \end{pmatrix}$$
ここから、一般の$(n,m)$行列$\begin{pmatrix} a_{11} & \dots & a_{1m} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \dots & a_{nm} \end{pmatrix}$を$(a_{ij})$$(1\leqq i \leqq n, 1 \leqq j \leqq m)$と表すことにします。次に、行列の演算についてです。行列に次の3つの演算を定義します。
スカラー(数)$b$, $(n,m)$行列$(a_{ij})$に対して、
$$\begin{equation} b(a_{ij}):= (ba_{ij})\;\;(スカラー倍) \end{equation}$$

2つの同じ形状の行列$(a_{ij})、(b_{ij})$に対して、
$$\begin{equation} (a_{ij})+(b_{ij}):= (a_{ij} + b_{ij})\;\;(和) \end{equation}$$
$(n,m)$行列$(a_{ij})$、$(m,l)$行列$(b_{jk})$に対して、
$$\begin{equation} (a_{ij})(b_{jk}):= \left(\sum_{j=1}^{m}a_{ij}b_{jk}\right) \end{equation}\;\;(積)$$
例：
$$2\begin{pmatrix}  1  &  4 &    7 \\ 10 & 13 & 16 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}  2  &  8 &    14 \\ 20 & 26 & 32 \end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 9 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4 & 7 \\ 12 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & 10 \\ 21 & 5 \end{pmatrix}$$
$$\begin{align*} \begin{pmatrix}  1  &  4 &    7 \\ 10 & 13 & 16 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}  4  &  2 \\ 1 & 3 \\ 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 43  &  56 \\ 133 & 155 \end{pmatrix}\\ \end{align*}$$
$$\begin{align*} メモ: 43 &= 1\times 4+4\times 1 + 7\times 5 \\ 56 &= 1\times 2+4\times 3 + 7\times 6 \\ 133 &= 10\times 4+13\times 1 + 16\times 5 \\ 155 &= 10\times 2+13\times 3 + 16\times 6 \end{align*}$$
行列を扱う重要な方法として、ベクトルを並べたものとして扱う手があります。
例：
$$A = \begin{pmatrix} 1  &  7 \\ 8 & 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} v_1  &  v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {}^t\!w_1  \\ {}^t\!w_2 \end{pmatrix}$$
$$v_1 = \begin{pmatrix} 1\\ 8 \end{pmatrix} ,\;\; v_2 = \begin{pmatrix} 7\\ 15 \end{pmatrix} ,\;\; w_1 = \begin{pmatrix} 1\\ 7 \end{pmatrix} ,\;\; w_2 = \begin{pmatrix} 8\\ 15 \end{pmatrix}$$
そして、2つの行列$A=\begin{pmatrix}{}^t\!w_1  \\{}^t\!w_2 \end{pmatrix}$、$B=\begin{pmatrix}v_1  &  v_2 \end{pmatrix}$に対して、$AB$は次のように計算することができます。
$$AB = \begin{pmatrix}Av_1  &  Av_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}{}^t\!w_{1}B  \\{}^t\!w_{2}B\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} {}^t\!w_1 v_1  &  {}^t\!w_1 v_2 \\ {}^t\!w_2 v_1 & {}^t\!w_2 v_2 \end{pmatrix}$$
行列の積は複雑ですが、行列をベクトルを並べたものとして考え、ベクトルの内積を用いると見やすくなるのではと思います。