ツイッター自作問題 解答7

この問題の答えです。

＜問題＞
5以上の素数pを取る。
36 | p(p+2)+1または36 | p(p-2)+1
が成り立つことを証明してください。

— toyo (@toyo9) July 15, 2019

5以上の素数$p$を取り、そして、$p$を6で割った余り$r$を考えます。
5以上の素数$p$なので($p \neq 2, 3$)、${\rm gcd}(r, 6)=1$となります。
これより、$r=1$または$5$となり、
$$p=6n-1\;\;\;または\;\;\;p=6n+1\;\;\;(n \geqq 1)$$
と表せます。
$p=6n-1$の場合、
$$p(p+2)+1 = (6n-1)(6n+1)+1 = 36n^2$$
より、$36 \; | \; p(p+2)+1$となります。
$p=6n+1$の場合、
$$p(p-2)+1 = (6n+1)(6n-1)+1 = 36n^2$$
より、$36 \; | \; p(p-2)+1$となります。
従って、
$$36 \; | \; p(p+2)+1\;\;\;または\;\;\;36 \; | \; p(p-2)+1$$
が成り立ちます。