ツイッター自作問題 解答9

この問題の答えです。

次の条件を満たすAを一つ見つけてください。 pic.twitter.com/ezD4fXqE97

— toyo (@toyo9) April 30, 2019

$A^2$を対角化することで、$A$を見つけることにします。 そのために、$A^2$の固有値と固有ベクトルを求めます。 $A^2$の固有値を$\lambda$、固有ベクトルを$v$とすると、 $$\begin{align*} A^2 v &= \lambda v \\ (A^2 - \lambda E)v &= 0 (E:単位行列、0:零行列)。 \end{align*}$$ $v$を零ベクトルでないとすれば、$A^2 - \lambda E$は逆行列を持たないので、その行列式は$0$となります。これより、 $$\begin{align*} |A^2 - \lambda E| &= 0 \\ \begin{vmatrix} 10 - \lambda & 6 \\ 6 & 10 - \lambda \end{vmatrix} &= 0 \\ (10 - \lambda)^2 - 36 &= 0 \\ \lambda^2 - 20\lambda + 64 &= 0 \\ (\lambda - 4)(\lambda - 16) &= 0 \end{align*}$$ より、$\lambda = 4, 16$となります。$\lambda_1 := 4$、$\lambda_2 := 16$とし、$\lambda_1$対する固有ベクトルを$v_1={}^t\!\begin{pmatrix}x_1 & y_1\end{pmatrix}$、$\lambda_2$対する固有ベクトルを$v_2={}^t\!\begin{pmatrix}x_2 & y_2\end{pmatrix}$とします。 $v_1$を求めると、 $$\begin{align*} (A^2 - \lambda_1 E)v_1 &= 0 \\ \begin{pmatrix} 10 - 4 & 6 \\ 6 & 10 - 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} &= 0 \\ \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ 6 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} &= 0 \end{align*}$$ これより、$v_1 = {}^t\!\begin{pmatrix}1 & -1\end{pmatrix}$が取れます。
$v_2$を求めると、 $$\begin{align*} (A^2 - \lambda_2 E)v_2 &= 0 \\ \begin{pmatrix} 10 - 16 & 6 \\ 6 & 10 - 16 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} &= 0 \\ \begin{pmatrix} -6 & 6 \\ 6 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} &= 0 \end{align*}$$ これより、$v_1 = {}^t\!\begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix}$が取れます。 これで、$A^2$の固有値と固有ベクトルが求められました。 次に、$P:=\begin{pmatrix}v_1 & v_2\end{pmatrix}$とおいて、$A^2 P$を計算すると、 $$\begin{align*} A^2 P &= A^2 \begin{pmatrix}v_1 & v_2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}A^2 v_1 & A^2 v_2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}4v_1 & 16v_2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} v_1 & v_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix} \\ &= P \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix} \\ A^2 &= P \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix} P^{-1} \end{align*}$$ となり、$A^2$を対角化することができました。 ここで、 $$B:=P \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} P^{-1}$$ を取り$B^2$を計算すると、 $$\begin{align*} B^2 &=P \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} P^{-1} P \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} P^{-1} \\ &= P \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}^2 P^{-1} \\ &= P \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix} P^{-1} \\ &= A^2 \end{align*}$$ よって、 $$\begin{align*} B &= P \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} P^{-1} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \end{align*}$$ は与式を満たす$A$の一つとなります。