問題の無限和をSとおきます。つまり、 S := \sum_{k=3}^\infty \frac{1}{k\log(k)\log(\log(k))}。 上の図で、赤い枠内部の面積の総和がSと等しくなっており、 \begin{align} S > \int\limits_{3}^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x\log(x)\log(\log(x))} \end{align} が成り立ちます(1/(x\log(x)\log(\log(x)))が単調減少であることから分かります。)。 (1)の右辺において、u:=\log(x)とおくと\mathrm{d}u=\mathrm{d}x/xなので、 \begin{align*} \int\limits_{3}^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x\log(x)\log(\log(x))} &= \int\limits_{\log(3)}^{\infty} \frac{\mathrm{d}u}{u\log(u)} \end{align*} となります。 さらに、v:=\log(u)とおくと、 \begin{align*} \int\limits_{\log(3)}^{\infty} \frac{\mathrm{d}u}{u\log(u)} &= \int\limits_{\log(\log(3))}^{\infty} \frac{\mathrm{d}v}{v} \\ &= \log(\infty) - \log(\log(\log(3))) \\ &= \infty \end{align*} となります。よって、Sの下界が無限大に発散するので、Sも共に発散します。つまり、 \sum_{k=3}^\infty \frac{1}{k\log(k)\log(\log(k))} = S = \infty となります。無限和
— toyo (@toyo9) June 14, 2020
Σ_{k=3}^∞ 1/(klog(k)log(log(k)))
の収束・発散を論じてください。収束する場合は、極限値を示してください。 pic.twitter.com/YyHKTJC7Dp
2020年10月31日土曜日
ツイッター自作問題 解答13
この問題の答えです。
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