ツイッター自作問題 解答13

この問題の答えです。

無限和
Σ_{k=3}^∞ 1/(klog(k)log(log(k)))
の収束・発散を論じてください。収束する場合は、極限値を示してください。 pic.twitter.com/YyHKTJC7Dp

— toyo (@toyo9) June 14, 2020

問題の無限和を$S$とおきます。つまり、 $$ S := \sum_{k=3}^\infty \frac{1}{k\log(k)\log(\log(k))}。 $$ 上の図で、赤い枠内部の面積の総和が$S$と等しくなっており、 \begin{align} S > \int\limits_{3}^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x\log(x)\log(\log(x))} \end{align} が成り立ちます($1/(x\log(x)\log(\log(x)))$が単調減少であることから分かります。)。 (1)の右辺において、$u:=\log(x)$とおくと$\mathrm{d}u=\mathrm{d}x/x$なので、 \begin{align*} \int\limits_{3}^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x\log(x)\log(\log(x))} &= \int\limits_{\log(3)}^{\infty} \frac{\mathrm{d}u}{u\log(u)} \end{align*} となります。 さらに、$v:=\log(u)$とおくと、 \begin{align*} \int\limits_{\log(3)}^{\infty} \frac{\mathrm{d}u}{u\log(u)} &= \int\limits_{\log(\log(3))}^{\infty} \frac{\mathrm{d}v}{v} \\ &= \log(\infty) - \log(\log(\log(3))) \\ &= \infty \end{align*} となります。よって、$S$の下界が無限大に発散するので、$S$も共に発散します。つまり、 $$ \sum_{k=3}^\infty \frac{1}{k\log(k)\log(\log(k))} = S = \infty $$ となります。