なかなか面白いと思う数列の問題です。
この数列の一般項（第ｎ項）を求めよ。
１、２、４、６、９、１２、１６・・・
ガウス記号（床関数）を使えば答えが複数あります。
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パズル、ゲーム、数学（算数？）などの好きなことを書き留めていきます。
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問題の答えです。
返信削除問題の数列をa_nとして、a_nの階差数列をb_n = a_(n+1) - a_n、b_nの階差数列をc_n = b_(n+1) - b_n、c_nの階差数列をd_n = c_(n+1) - c_nとします。
a_nからd_nまで並べて書き下してみると、
a_n：1, 2, 4, 6, 9, 12, 16, ・・・
b_n：1, 2, 2, 3, 3, 4, ・・・
c_n: 1, 0, 1, 0, 1, ・・・
d_n: -1, 1, -1, 1, ・・・
となります。
ここで、d_nを見てみると、d_n = (-1)^nになっていることが分かります。
d_nを用いて、c_nを求めると、
c_n = c_1 + Σ(k=1;n-1)d_k = 1 + Σ(k=1;n-1)(-1)^k
等比数列の和の公式より、
c_n = 1 - {1 + (-1)^n}/2 = {1 - (-1)^n}/2
となります。
同様の方法で、b_nも求めると、
b_n = b_1 + Σ(k=1;n-1)c_k = 1 + Σ(k=1;n-1){1 - (-1)^k}/2
b_n = {3 + (-1)^n}/4 + n/2
となります。
最後に、また同様の方法で、a_nを求めると、
a_n = a_1 + Σ(k=1;n-1)b_k
= 1 + Σ(k=1;n-1)[{3 + (-1)^k}/4 + k/2]
= {1 - (-1)^n}/8 + n(n+2)/4
となり、a_nを一つの式で表すことができました。