ツイッター自作問題 解答8

この問題の答えです。 

＜問題＞
ℝ_{>0}:={x∈ℝ|x>0}
L_1(x):=∫_1^x (dα/α) (x∈ℝ_{>0})
L_2(x):=lim_{n→∞}n(x^{1/n}-1) (x∈ℝ_{>0})
とおく。
x,y∈ℝ_{>0}を取る。
L_1(xy)=L_1(x)+L_1(y) と L_2(xy)=L_2(x)+L_2(y)
を証明してください。 pic.twitter.com/tcoFfW7dPW

— toyo (@toyo9) January 20, 2020

＜$L_{1}(xy)=L_1(x)+L_1(y)$の証明＞

$$
L_1(x) = \int_{1}^{x} \frac{d \alpha}{\alpha}
$$

において、$\alpha = \beta / y$とおくと、 \begin{align*}
L_1(x) &= \int_{y}^{xy} \frac{d(\beta / y)}{\beta / y} \\ &= \int_{y}^{xy} \frac{(1/y)d\beta}{\beta / y} \\ &=\int_{y}^{xy} \frac{d \beta}{\beta} \\ &=\left(\int_{1}^{xy} - \int_{1}^{y} \right) \left(\frac{d \beta}{\beta} \right) \\  &=L_{1}(xy)-L_{1}(y)　\\L_1(x) + L_1(y)&=L_1(xy)\end{align*}

となります。

＜$L_{2}(xy)=L_2(x)+L_2(y)$の証明＞

\begin{align*} n((xy)^{1/n} - 1) &= n((x^{1/n}-1)(y^{1/n}-1) \\
&+ (x^{1/n}-1)+(y^{1/n}-1)) \\
&= n(x^{1/n}-1)(y^{1/n}-1) \\
&+ n(x^{1/n}-1)+ n(y^{1/n}-1) \\
\end{align*}

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n(x^{1/n}-1)$が収束するとすれば、
\begin{align*} \displaystyle \lim_{n \to \infty}n((xy)^{1/n} - 1) &= \displaystyle \lim_{n \to \infty}(n(x^{1/n}-1)(y^{1/n}-1) \\
&+ n(x^{1/n}-1)+ n(y^{1/n}-1)) \\
L_{2}(xy)&= L_{2}(x) \displaystyle \lim_{n \to \infty}(y^{1/n}-1) + L_2(x) + L_2(y) \\
&= L_2(x) + L_2(y) \end{align*} となります。
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n(x^{1/n}-1)$が収束することを確認します。$u:=x^{1/n}-1$とおくと、 \begin{align*} n(x^{1/n}-1) &= \frac{u}{\log_{x}(1+u)} \\ &= \frac{1}{\log_{x}((1+u)^{1/u})} \end{align*} そして、 $$ (1+u)^{1/n} \to e\;\;\;(u \to 0) $$ なので、$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n(x^{1/n}-1)$は収束します。