問題をやっていて、なんとか解けたので紹介します。
ある数学者がこの数列は素数と合成数を交互に
繰り返す、と主張しました。この主張が間違い
であることを証明してください。
１＋２＋４、１＋２＋４＋８、１＋２＋４＋８＋１６、・・・
力ずくでも解くことができますが、できるだけスマート
な方法を考えてみてください。
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パズル、ゲーム、数学（算数？）などの好きなことを書き留めていきます。
問題の答えです。
返信削除計算をして、反例を見つけても良いですが、式を変形して必ずしも素数にならないことを示します。
まず、この問題の数列を考えると、これは初項１、項比２の等比数列の和なので、次のように書き換えることができます。
2^3 - 1, 2^4 - 1, 2^5 - 1,・・・
より、第ｎ項（一般項）は2^(n+2) - 1となります。
nが偶数のとき、つまりn = 2m（mは自然数）のときを考えると、一般項は、2^(2m+2) - 1なので、
2^(2m+2) - 1 = {2^(m+1)}^2 - 1^2
= {2^(m+1)+1}{2^(m+1)-1}
となり、2^(m+1)-1>1より、偶数番目の項は必ず合成数になります。
nが奇数のとき、つまりn = 2m-1(mは自然数)のときに一般項は、2^(2m+1)-1である。
さらに2m+1が3の倍数のとき、つまり2m+1 = 3k(kは自然数)のときを考えると、a^3-b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)より、
2^(3k)-1 = {2^k}^3-1^3
= (2^k-1){(2^k)^2+2^k+1}
となり、k>1のとき、2^k-1>1なので、このとき合成数になってしまうので、奇数番目の項は必ずしも素数になりません。