微分積分でお馴染みの、ネイピア数ｅに関する問題です。
ネイピア数ｅは次のように定義されています。
ｅ ＝ lim（ｎ→±∞）（１＋１／ｎ）＾ｎ ＝ 2.71828・・・
では、次の値を求めよ。
lim（ｎ→＋∞）｛１－１／（ｎ＾２）｝＾ｎ
lim（ｎ→±∞）の意味は、ｎを正の方向に限りなく数を大きくしていく、または
ｎを負の方向に限りなく大きくしていく、という意味です。
つまり、上のｅの定義では、正の方向に限りなく増やそうとも、
負の方向に限りなく増やそうとも、どちらにしても2.71828・・・に近付いていく
という意味です。
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パズル、ゲーム、数学（算数？）などの好きなことを書き留めていきます。
問題の答えです。
返信削除この問題を解くポイントはａ＾２－ｂ＾２の形に
気づけるかどうかと、変数変換です。
ａ＾２－ｂ＾２形は
ａ＾２－ｂ＾２ ＝ （ａ＋ｂ）（ａ－ｂ）
に因数分解できます。
この因数分解を問題の式に当てはめると、
lim（ｎ→＋∞）｛１－１／（ｎ＾２）｝＾ｎ
＝ lim（ｎ→＋∞）｛１＾２－（１／ｎ）＾２｝＾ｎ
＝ lim（ｎ→＋∞）｛（１＋１／ｎ）（１－１／ｎ）｝＾ｎ
＝ lim（ｎ→＋∞）（１＋１／ｎ）＾ｎ×（１－１／ｎ）＾ｎ
となります。
ここで、lim（ｎ→＋∞）（１＋１／ｎ）＾ｎ・・・①と
lim（ｎ→＋∞）（１－１／ｎ）＾ｎ・・・②の二つに分けて考えると、まず①はｅの定義そのままなので、
①＝ｅとなります。②を見ると、①の＋のところが－になっているので、このままではｅの定義が使えません。
そこで、ｎ＝－ｍと変数変換してみると、
ｎ→＋∞のときｍ→－∞となります。そして、②を見てみると、
lim（ｎ→＋∞）（１－１／ｎ）＾ｎ
＝ lim（ｍ→－∞）（１＋１／ｍ）＾（－ｍ）
＝ lim（ｍ→－∞）１／（１＋１／ｍ）＾ｍ
となり、②はｅの定義より１／ｅになります。
そして、この問題は①と②を掛けた値を求めるので、よって
lim（ｎ→＋∞）｛１－１／（ｎ＾２）｝＾ｎ
＝ ｅ × １／ｅ ＝ １ となります。