ちょっと話題になった積分があったので、紹介します。
∫{sin(x)^4}dxを計算せよ。
ちなみに、sin(x)^4はsin(x)の4乗という意味です。
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パズル、ゲーム、数学（算数？）などの好きなことを書き留めていきます。
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高校の教科書に載ってるようなやり方で半角の公式を2回使えば求まりますが、話題になったといわれるともっとスマートな方法がありそうですね^^;
返信削除奇数乗なら置換積分でも使うんでしょうが、本問に対するスマートな解答はなかなか思いつきません・・・
＞HAL_hicoさん
返信削除自分の方法もあまりスマートではないかもしれないですね～。
ただ、積分範囲を０からπ／２とすると面白い解き方がありますよ～。
問題の答えです。
返信削除sin(x)^4を積分できる形に変形します。
ピタゴラスの定理（sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1)より、
sin(x)^4 = {1 - cos(x)^2}sin(x)^2
= sin(x)^2 - {cos(x)sin(x)}^2
sinの倍角の公式（sin(2x) = 2sin(x)cos(x))より、
= sin(x)^2 - {(1/2)sin(2x)}^2
= sin(x)^2 - (1/4)sin(2x)^2
となり、sin(x)^4の積分をsin(x)^2の積分に帰着させることができます。
次に、sin(x)^2をcosの倍角の公式（cos(2x) = 1 - 2sin(x)^2)で、変形させると、
sin(x)^2 = {1 - cos(2x)}/2
sin(x)^2を積分すると、
∫sin(x)^2dx = ∫{1 - cos(2x)}/2dx = x/2 - sin(2x)/4 + A
次に、(1/4)sin(2x)^2を積分すると、
∫(1/4)sin(2x)^2dx = (1/4)∫{1 - cos(4x)}/2dx
= x/8 - sin(4x)/32 + B
よって、sin(x)^4の積分は、
∫sin(x)^4dx = ∫sin(x)^2dx - ∫(1/4)sin(2x)^2dx
= (3/8)x - (1/4)sin(2x) + (1/32)sin(4x) + C
となります。但し、A、B、Cは積分定数