パズル、ゲーム、数学（算数？）などの好きなことを書き留めていきます。
問題の答えです。Sn = ∫{sin(x)^n}dx（積分範囲は０からπ／２）とおいて、漸化式を作ります。Sn = ∫{sin(x)^n}dx = ∫{(-cos(x))'sin(x)^(n-1)}dxとして、部分積分を用いると、 = -[cos(x)sin(x)^(n-1)] + ∫{(cos(x)^2)(n-1)sin(x)^(n-2)}dx[cos(x)sin(x)^(n-1)]はcos(π/2)=0,sin(0)=0より、0となります。ピタゴラスの定理(sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1)より, = (n-1)∫{(1-sin(x)^2)sin(x)^(n-2)}dx = (n-1)∫{sin(x)^(n-2)}dx - (n-1)∫{sin(x)^n}dx = (n-1)Sn-2 - (n-1)Sn となります。よって、Sn = {(n-1)/n}Sn-2、という漸化式を導くことができます。この問題で求めたいのは、S5なので、S5 = (4/5)S3 = (4/5)(2/3)S1となる。S1は定義より、S1 = ∫sin(x)dx = [-cos(x)] = {0-(-1)} = 1よってS5は、S5 = (4/5)(2/3)1 = 8/15となる。
問題の答えです。
返信削除Sn = ∫{sin(x)^n}dx（積分範囲は０からπ／２）とおいて、漸化式を作ります。
Sn = ∫{sin(x)^n}dx = ∫{(-cos(x))'sin(x)^(n-1)}dxとして、部分積分を用いると、
= -[cos(x)sin(x)^(n-1)]
+ ∫{(cos(x)^2)(n-1)sin(x)^(n-2)}dx
[cos(x)sin(x)^(n-1)]はcos(π/2)=0,sin(0)=0より、0となります。ピタゴラスの定理(sin(x)^2 + cos(x)^2 = 1)より,
= (n-1)∫{(1-sin(x)^2)sin(x)^(n-2)}dx
= (n-1)∫{sin(x)^(n-2)}dx - (n-1)∫{sin(x)^n}dx
= (n-1)Sn-2 - (n-1)Sn となります。よって、
Sn = {(n-1)/n}Sn-2、という漸化式を導くことができます。
この問題で求めたいのは、S5なので、
S5 = (4/5)S3 = (4/5)(2/3)S1となる。S1は定義より、
S1 = ∫sin(x)dx = [-cos(x)] = {0-(-1)} = 1よってS5は、
S5 = (4/5)(2/3)1 = 8/15となる。