xの関数f, g, hを以下のように定めます。
$$
f(x):=g(x)+h(x)
$$
$$
g(x)^2 = h(x)^2 + 1
$$
次の未知関数q(x)を求めてください。
$$
\frac{f(x)^4 - 1}{f(x)^2} = q(x)g(x)h(x)
$$
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パズル、ゲーム、数学（算数？）などの好きなことを書き留めていきます。
問題の答えです。
返信削除f, g, hの定義より、
g(x)^2 = h(x)^2 + 1
g(x)^2 - h(x)^2 = 1
(g(x) + h(x))(g(x) - h(x)) = 1
f(x) = 1/(g(x) - h(x))
1/f(x) = g(x) - h(x)
と変形できます。
これを用いて、(f(x)^4 - 1)/f(x)^2を次のように変形します。
(f(x)^4 - 1)/f(x)^2 =
(f(x)^2 + 1)(f(x)^2 - 1)/f(x)^2 =
(f(x) + 1/f(x))(f(x) - 1/f(x)) =
((g(x) + h(x)) + (g(x) - h(x)))×
((g(x) + h(x)) - (g(x) - h(x))) =
(2g(x))(2h(x)) =
4g(x)h(x)
(f(x)^4 - 1)/f(x)^2 = q(x)g(x)h(x)より、
4g(x)h(x) = q(x)g(x)h(x) よって、
q(x) = 4
となります。