算数クイズ 回答

このツイートの問題の回答です。

【算数クイズ】
面白い問題ができた！
１から９までの数を１回ずつ使う、分数の問題です。

答えるときはリプライは避け、引用RTなどでお願いします！✨
RTで多くの人に届けてください～～！！ pic.twitter.com/NQgwZP1X1i

— 横山 明日希 -新メンバー募集中- (@asunokibou) 2019年1月26日

等式、

を考えます。

この等式が問題の条件を満たすとします。つまり、

ア = am ・・・(1)

イ = an  ・・・(2)

ウ = bm ・・・(3)

エ + オ = bn ・・・(4)

カ = cm ・・・(5)

キ + ク + ケ = cn ・・・(6)

を満たします。エ < オ, キ < ク < ケ とします(一般性を保ちます)。

すると、1から9までの自然数の和は45であるから、

が成り立ちます。

これから、

を満たします(a|b: aがbを割り切る)。

よって、

のa+b+cとm+nの組み合わせの候補が取れます。

a

となります。

ここからは、この2パターンを場合分けして、調べます。

＜a + b + c = 9, m + n = 5の場合＞

以下のa, b, cの組み合わせの候補が取れます。

この全ての組み合わせにおいて、m = 1, n = 4となります((5):カ = cm ≦ 9 と am ≠ bmから導かれます)。

(a, b, c) = (1, 2, 6)の場合

(1)から(6)を書き直すと、

ア = am = 1

イ = an = 4

ウ = bm = 2

エ + オ = bn = 8

カ = cm = 6

キ + ク + ケ = cn = 24

問題の条件(アからケは1から9の一つずつ当てはまる)から

エ = 3, オ = 5, キ = 7, ク = 8, ケ = 9

と決定できます。

よって、

が見つけられます。

(a, b, c) = (1, 3, 5)の場合

(1)から(6)を書き直すと、

ア = am = 1

イ = an = 4

ウ = bm = 3

エ + オ = bn = 12

カ = cm = 5

キ + ク + ケ = cn = 20

この場合は、解がありません(例えば、エとオに当てはまる数が取れない)。

(a, b, c) = (2, 3, 4)の場合

(1)から(6)を書き直すと、

ア = am = 2

イ = an = 8

ウ = bm = 3

エ + オ = bn = 12

カ = cm = 4

キ + ク + ケ = cn = 16

問題の条件から

エ = 5, オ = 7, キ = 1, ク = 6, ケ = 9

と決定できます。

よって、

が見つけられます。

＜a + b + c = 15, m + n = 3の場合＞

以下のa, b, cの組み合わせの候補が取れます。

この全ての組み合わせにおいて、m = 1, n = 2となります((5):カ = cm ≦ 9から導かれます)。

(a, b, c) = (1, 5, 9)の場合

(1)から(6)を書き直すと、

ア = am = 1

イ = an = 2

ウ = bm = 5

エ + オ = bn = 10

カ = cm = 9

キ + ク + ケ = cn = 18

問題の条件から、

エ = 3, オ = 7, キ = 4, ク = 6, ケ = 8
と
エ = 4, オ = 6, キ = 3, ク = 7, ケ = 8

が取れます。

よって、

が見つけられます。

(a, b, c) = (1, 6, 8)の場合

(1)から(6)を書き直すと、

ア = am = 1

イ = an = 2

ウ = bm = 6

エ + オ = bn = 12

カ = cm = 8

キ + ク + ケ = cn = 16

問題の条件から、

エ = 3, オ = 9, キ = 4, ク = 5, ケ = 7
と
エ = 5, オ = 7, キ = 3, ク = 4, ケ = 9

が取れます。

よって、

が見つけられます。

(a, b, c) = (2, 4, 9)の場合

(1)から(6)を書き直すと、

ア = am = 2

イ = an = 4

ウ = bm = 4
エ + オ = bn = 8

カ = cm = 9

キ + ク + ケ = cn = 18

この場合は、解がありません。

(a, b, c) = (2, 5, 8)の場合

(1)から(6)を書き直すと、

ア = am = 2

イ = an = 4

ウ = bm = 5

エ + オ = bn = 10

カ = cm = 8

キ + ク + ケ = cn = 16

問題の条件から、

エ = 1, オ = 9, キ = 3, ク = 6, ケ = 7
と
エ = 3, オ = 7, キ = 1, ク = 8, ケ = 9

が取れます。

よって、

が見つけられます。

(a, b, c) = (2, 6, 7)の場合

(1)から(6)を書き直すと、

ア = am = 2

イ = an = 4

ウ = bm = 6

エ + オ = bn = 12

カ = cm = 7

キ + ク + ケ = cn = 14

問題の条件から、

エ = 3, オ = 9, キ = 1, ク = 5, ケ = 8
が取れます。
よって、

が見つけられます。

(a, b, c) = (3, 4, 8)の場合

(1)から(6)を書き直すと、

ア = am = 3

イ = an = 6

ウ = bm = 4

エ + オ = bn = 8

カ = cm = 8

キ + ク + ケ = cn = 16

問題の条件から、

エ = 1, オ = 7, キ = 2, ク = 5, ケ = 9
が取れます。
よって、

が見つけられます。

(a, b, c) = (3, 5, 7)の場合

(1)から(6)を書き直すと、

ア = am = 3

イ = an = 6

ウ = bm = 5

エ + オ = bn = 10

カ = cm = 7

キ + ク + ケ = cn = 14

問題の条件から、

エ = 1, オ = 9, キ = 2, ク = 4, ケ = 8
と
エ = 2, オ = 8, キ = 1, ク = 4, ケ = 9
が取れます。
よって、

が見つけられます。

(a, b, c) = (4, 5, 6)の場合

(1)から(6)を書き直すと、

ア = am = 4

イ = an = 8

ウ = bm = 5

エ + オ = bn = 10

カ = cm = 6

キ + ク + ケ = cn = 12

問題の条件から、

エ = 1, オ = 9, キ = 2, ク = 3, ケ = 7
と
エ = 3, オ = 7, キ = 1, ク = 2, ケ = 9
が取れます。
よって、

が見つけられます。