全ての$n(\geqq 2)$次正方行列$A$に対して、${}^tA = T_1 A T_2$となるn次正方行列$T_1$、$T_2$が存在すると仮定します。 $A=E$:単位行列とすると、 \begin{align*} {}^tE &= T_1 E T_2 \\ E &= T_1T_2 \\ T_2 &= T_{1}^{-1} \end{align*} であることが分かります。 次に、全ての$n$次正方行列たち$A$、$B$に対して、${}^t(AB)={}^tB{}^tA$が成り立つことから、 \begin{align*} {}^t(AB) &= {}^tB{}^tA \\ T_1 AB T_{1}^{-1} &= T_1 B T_{1}^{-1}T_1 A T_{1}^{-1} \\ T_1 AB T_{1}^{-1} &= T_1 BA T_{1}^{-1} \\ AB &= BA \end{align*} が全ての$n$次正方行列たち$A$、$B$に対して成り立つことになります。しかし、これは一般的には成り立たないので矛盾です。 よって、全ての$n$次正方行列$A$に対して、${}^tA = T_1 A T_2$となるようなn次正方行列$T_1$、$T_2$は存在しません。＜問題＞
— toyo (@toyo9) June 27, 2020
全てのn(n≧2)次正方行列Aに対して、
^tA=T_1 A T_2 (^tA:Aの転置行列)
となるようなn次正方行列T_1，T_2は存在しないことを示してください。 pic.twitter.com/nPYL46MqGZ
2020年7月26日日曜日
ツイッター自作問題 解答10
この問題の答えです。
2020年6月28日日曜日
ツイッター自作問題 解答9
この問題の答えです。
$v_2$を求めると、 \begin{align*} (A^2 - \lambda_2 E)v_2 &= 0 \\ \begin{pmatrix} 10 - 16 & 6 \\ 6 & 10 - 16 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} &= 0 \\ \begin{pmatrix} -6 & 6 \\ 6 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} &= 0 \end{align*} これより、$v_1 = {}^t\!\begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix}$が取れます。 これで、$A^2$の固有値と固有ベクトルが求められました。 次に、$P:=\begin{pmatrix}v_1 & v_2\end{pmatrix}$とおいて、$A^2 P$を計算すると、 \begin{align*} A^2 P &= A^2 \begin{pmatrix}v_1 & v_2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}A^2 v_1 & A^2 v_2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}4v_1 & 16v_2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} v_1 & v_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix} \\ &= P \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix} \\ A^2 &= P \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix} P^{-1} \end{align*} となり、$A^2$を対角化することができました。 ここで、 $$ B:=P \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} P^{-1} $$ を取り$B^2$を計算すると、 \begin{align*} B^2 &=P \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} P^{-1} P \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} P^{-1} \\ &= P \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}^2 P^{-1} \\ &= P \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix} P^{-1} \\ &= A^2 \end{align*} よって、 \begin{align*} B &= P \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} P^{-1} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \end{align*} は与式を満たす$A$の一つとなります。
$A^2$を対角化することで、$A$を見つけることにします。 そのために、$A^2$の固有値と固有ベクトルを求めます。 $A^2$の固有値を$\lambda$、固有ベクトルを$v$とすると、 \begin{align*} A^2 v &= \lambda v \\ (A^2 - \lambda E)v &= 0 (E:単位行列、0:零行列)。 \end{align*} $v$を零ベクトルでないとすれば、$A^2 - \lambda E$は逆行列を持たないので、その行列式は$0$となります。これより、 \begin{align*} |A^2 - \lambda E| &= 0 \\ \begin{vmatrix} 10 - \lambda & 6 \\ 6 & 10 - \lambda \end{vmatrix} &= 0 \\ (10 - \lambda)^2 - 36 &= 0 \\ \lambda^2 - 20\lambda + 64 &= 0 \\ (\lambda - 4)(\lambda - 16) &= 0 \end{align*} より、$\lambda = 4, 16$となります。$\lambda_1 := 4$、$\lambda_2 := 16$とし、$\lambda_1$対する固有ベクトルを$v_1={}^t\!\begin{pmatrix}x_1 & y_1\end{pmatrix}$、$\lambda_2$対する固有ベクトルを$v_2={}^t\!\begin{pmatrix}x_2 & y_2\end{pmatrix}$とします。 $v_1$を求めると、 \begin{align*} (A^2 - \lambda_1 E)v_1 &= 0 \\ \begin{pmatrix} 10 - 4 & 6 \\ 6 & 10 - 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} &= 0 \\ \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ 6 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} &= 0 \end{align*} これより、$v_1 = {}^t\!\begin{pmatrix}1 & -1\end{pmatrix}$が取れます。次の条件を満たすAを一つ見つけてください。 pic.twitter.com/ezD4fXqE97
— toyo (@toyo9) April 30, 2019
$v_2$を求めると、 \begin{align*} (A^2 - \lambda_2 E)v_2 &= 0 \\ \begin{pmatrix} 10 - 16 & 6 \\ 6 & 10 - 16 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} &= 0 \\ \begin{pmatrix} -6 & 6 \\ 6 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} &= 0 \end{align*} これより、$v_1 = {}^t\!\begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix}$が取れます。 これで、$A^2$の固有値と固有ベクトルが求められました。 次に、$P:=\begin{pmatrix}v_1 & v_2\end{pmatrix}$とおいて、$A^2 P$を計算すると、 \begin{align*} A^2 P &= A^2 \begin{pmatrix}v_1 & v_2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}A^2 v_1 & A^2 v_2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}4v_1 & 16v_2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} v_1 & v_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix} \\ &= P \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix} \\ A^2 &= P \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix} P^{-1} \end{align*} となり、$A^2$を対角化することができました。 ここで、 $$ B:=P \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} P^{-1} $$ を取り$B^2$を計算すると、 \begin{align*} B^2 &=P \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} P^{-1} P \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} P^{-1} \\ &= P \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}^2 P^{-1} \\ &= P \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix} P^{-1} \\ &= A^2 \end{align*} よって、 \begin{align*} B &= P \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} P^{-1} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \end{align*} は与式を満たす$A$の一つとなります。
2020年5月31日日曜日
ツイッター自作問題 解答8
この問題の答えです。
＜問題＞
— toyo (@toyo9) January 20, 2020
ℝ_{>0}:={x∈ℝ|x>0}
L_1(x):=∫_1^x (dα/α) (x∈ℝ_{>0})
L_2(x):=lim_{n→∞}n(x^{1/n}-1) (x∈ℝ_{>0})
とおく。
x,y∈ℝ_{>0}を取る。
L_1(xy)=L_1(x)+L_1(y) と L_2(xy)=L_2(x)+L_2(y)
を証明してください。 pic.twitter.com/tcoFfW7dPW
＜$L_{1}(xy)=L_1(x)+L_1(y)$の証明＞
$$
L_1(x) = \int_{1}^{x} \frac{d \alpha}{\alpha}
$$
L_1(x) = \int_{1}^{x} \frac{d \alpha}{\alpha}
$$
において、$\alpha = \beta / y$とおくと、 \begin{align*}
L_1(x) &= \int_{y}^{xy} \frac{d(\beta / y)}{\beta / y} \\ &= \int_{y}^{xy} \frac{(1/y)d\beta}{\beta / y} \\ &=\int_{y}^{xy} \frac{d \beta}{\beta} \\ &=\left(\int_{1}^{xy} - \int_{1}^{y} \right) \left(\frac{d \beta}{\beta} \right) \\ &=L_{1}(xy)-L_{1}(y) \\L_1(x) + L_1(y)&=L_1(xy)\end{align*}
となります。 L_1(x) &= \int_{y}^{xy} \frac{d(\beta / y)}{\beta / y} \\ &= \int_{y}^{xy} \frac{(1/y)d\beta}{\beta / y} \\ &=\int_{y}^{xy} \frac{d \beta}{\beta} \\ &=\left(\int_{1}^{xy} - \int_{1}^{y} \right) \left(\frac{d \beta}{\beta} \right) \\ &=L_{1}(xy)-L_{1}(y) \\L_1(x) + L_1(y)&=L_1(xy)\end{align*}
＜$L_{2}(xy)=L_2(x)+L_2(y)$の証明＞
\begin{align*} n((xy)^{1/n} - 1) &= n((x^{1/n}-1)(y^{1/n}-1) \\
&+ (x^{1/n}-1)+(y^{1/n}-1)) \\
&= n(x^{1/n}-1)(y^{1/n}-1) \\
&+ n(x^{1/n}-1)+ n(y^{1/n}-1) \\
\end{align*}
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n(x^{1/n}-1)$が収束するとすれば、 &+ (x^{1/n}-1)+(y^{1/n}-1)) \\
&= n(x^{1/n}-1)(y^{1/n}-1) \\
&+ n(x^{1/n}-1)+ n(y^{1/n}-1) \\
\end{align*}
\begin{align*} \displaystyle \lim_{n \to \infty}n((xy)^{1/n} - 1) &= \displaystyle \lim_{n \to \infty}(n(x^{1/n}-1)(y^{1/n}-1) \\
&+ n(x^{1/n}-1)+ n(y^{1/n}-1)) \\
L_{2}(xy)&= L_{2}(x) \displaystyle \lim_{n \to \infty}(y^{1/n}-1) + L_2(x) + L_2(y) \\
&= L_2(x) + L_2(y) \end{align*} となります。
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n(x^{1/n}-1)$が収束することを確認します。$u:=x^{1/n}-1$とおくと、 \begin{align*} n(x^{1/n}-1) &= \frac{u}{\log_{x}(1+u)} \\ &= \frac{1}{\log_{x}((1+u)^{1/u})} \end{align*} そして、 $$ (1+u)^{1/n} \to e\;\;\;(u \to 0) $$ なので、$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n(x^{1/n}-1)$は収束します。
2020年4月26日日曜日
ツイッター自作問題 解答7
この問題の答えです。
5以上の素数$p$を取り、そして、$p$を6で割った余り$r$を考えます。
5以上の素数$p$なので($p \neq 2, 3$)、${\rm gcd}(r, 6)=1$となります。
これより、$r=1$または$5$となり、
$$
p=6n-1\;\;\;または\;\;\;p=6n+1\;\;\;(n \geqq 1)
$$
と表せます。
$p=6n-1$の場合、
$$
p(p+2)+1 = (6n-1)(6n+1)+1 = 36n^2
$$
より、$36 \; | \; p(p+2)+1$となります。
$p=6n+1$の場合、
$$
p(p-2)+1 = (6n+1)(6n-1)+1 = 36n^2
$$
より、$36 \; | \; p(p-2)+1$となります。
従って、
$$
36 \; | \; p(p+2)+1\;\;\;または\;\;\;36 \; | \; p(p-2)+1
$$
が成り立ちます。
＜問題＞
— toyo (@toyo9) July 15, 2019
5以上の素数pを取る。
36 | p(p+2)+1または36 | p(p-2)+1
が成り立つことを証明してください。
5以上の素数$p$を取り、そして、$p$を6で割った余り$r$を考えます。
5以上の素数$p$なので($p \neq 2, 3$)、${\rm gcd}(r, 6)=1$となります。
これより、$r=1$または$5$となり、
$$
p=6n-1\;\;\;または\;\;\;p=6n+1\;\;\;(n \geqq 1)
$$
と表せます。
$p=6n-1$の場合、
$$
p(p+2)+1 = (6n-1)(6n+1)+1 = 36n^2
$$
より、$36 \; | \; p(p+2)+1$となります。
$p=6n+1$の場合、
$$
p(p-2)+1 = (6n+1)(6n-1)+1 = 36n^2
$$
より、$36 \; | \; p(p-2)+1$となります。
従って、
$$
36 \; | \; p(p+2)+1\;\;\;または\;\;\;36 \; | \; p(p-2)+1
$$
が成り立ちます。
2020年3月30日月曜日
ツイッター自作問題 解答6
このツイートの問題の答えです。
無限和
\begin{align}
\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots \;\;\;(|x|<1)
\end{align}
の両辺を0からxまで積分すると、
\begin{align}
\int_0^{x}\frac{du}{1-u} &= \int_0^{x}(1 + u + u^2 + \cdots)du \notag \\
-\log (1-x) &= x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots \tag{2}。
\end{align}
式(1)と式(2)の積をとると、
\begin{align*}
\frac{-\log (1-x)}{1-x} &= \left(1 + x + x^2 + \cdots \right) \left(x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots \right) \\
&= x + \left(1+\frac{1}{2} \right)x^2 + \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3} \right)x^3 + \cdots \\
&= \sum_{k=1}^{\infty}\left(\sum_{l=1}^{k}\frac{1}{l}\right)x^k \\
&= \sum_{k=1}^{\infty}H_{k}x^k \;\;\;(|x|<1)
\end{align*}
となります。これより、
$$
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_{k}}{2^k}
= \left.\frac{-\log (1-x)}{1-x} \right|_{x=\frac{1}{2}}
= \frac{-\log (\frac{1}{2})}{\frac{1}{2}}
= 2\log(2)
$$
となります。
＜問題＞
— toyo (@toyo9) March 16, 2020
無限和S:=1/2+(1+1/2)1/(2^2)+(1+1/2+1/3)1/(2^3)+…
の極限値を求めてください。 pic.twitter.com/DSTsnQwHWo
無限和
\begin{align}
\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots \;\;\;(|x|<1)
\end{align}
の両辺を0からxまで積分すると、
\begin{align}
\int_0^{x}\frac{du}{1-u} &= \int_0^{x}(1 + u + u^2 + \cdots)du \notag \\
-\log (1-x) &= x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots \tag{2}。
\end{align}
式(1)と式(2)の積をとると、
\begin{align*}
\frac{-\log (1-x)}{1-x} &= \left(1 + x + x^2 + \cdots \right) \left(x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \cdots \right) \\
&= x + \left(1+\frac{1}{2} \right)x^2 + \left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3} \right)x^3 + \cdots \\
&= \sum_{k=1}^{\infty}\left(\sum_{l=1}^{k}\frac{1}{l}\right)x^k \\
&= \sum_{k=1}^{\infty}H_{k}x^k \;\;\;(|x|<1)
\end{align*}
となります。これより、
$$
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_{k}}{2^k}
= \left.\frac{-\log (1-x)}{1-x} \right|_{x=\frac{1}{2}}
= \frac{-\log (\frac{1}{2})}{\frac{1}{2}}
= 2\log(2)
$$
となります。
2020年2月24日月曜日
ツイッター自作問題 解答5
このツイートの問題の答えです。
準備として、次の定理を示します。
定理
$f$:無限回微分可能関数, $n \in \mathbb{N}$を取ります。
$$
(De^{nx})f(x)=e^{nx}(D+n)f(x).
$$
証明:
\begin{align*}
(De^{nx})f(x)
&= D(e^{nx}f(x)) \\
&= ne^{nx}f(x) + e^{nx}(Df)(x) \\
&= e^{nx}(D+n)f(x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\square
\end{align*}
この定理を繰り返し用いて、$(De^{x})^{n}x$を変形していくと、
\begin{align*}
(De^{x})^{n}x
&= (De^{x})^{n-1}(De^{x}(x)) \\
&= (De^{x})^{n-1}(e^{x}(D+1)(x)) \\
&= (De^{x})^{n-2}(D(e^{2x}(D+1)(x))) \\
&= (De^{x})^{n-2}(e^{2x}(D+2)(D+1)(x)) \\
&= \dots \\
&= e^{nx}(D+n)(D+n-1)\cdots(D+2)(D+1)(x)\\
&= e^{nx}((\dots)D^2+n! \left(1+\cdots+\frac{1}{n} \right)D+n!)(x) \\
&= e^{nx}\left(n!\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}+n!x \right)
\end{align*}
となります。
＜問題＞— toyo (@toyo9) November 7, 2019
De^xをe^xを掛けてからxで微分する作用素を表すことにします。
(De^x)(De^x)…(De^x)x= (De^x)^n x(xに(De^x)をn回施す)を実行してください。 pic.twitter.com/nqhiWNokbD
準備として、次の定理を示します。
定理
$f$:無限回微分可能関数, $n \in \mathbb{N}$を取ります。
$$
(De^{nx})f(x)=e^{nx}(D+n)f(x).
$$
証明:
\begin{align*}
(De^{nx})f(x)
&= D(e^{nx}f(x)) \\
&= ne^{nx}f(x) + e^{nx}(Df)(x) \\
&= e^{nx}(D+n)f(x)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\square
\end{align*}
この定理を繰り返し用いて、$(De^{x})^{n}x$を変形していくと、
\begin{align*}
(De^{x})^{n}x
&= (De^{x})^{n-1}(De^{x}(x)) \\
&= (De^{x})^{n-1}(e^{x}(D+1)(x)) \\
&= (De^{x})^{n-2}(D(e^{2x}(D+1)(x))) \\
&= (De^{x})^{n-2}(e^{2x}(D+2)(D+1)(x)) \\
&= \dots \\
&= e^{nx}(D+n)(D+n-1)\cdots(D+2)(D+1)(x)\\
&= e^{nx}((\dots)D^2+n! \left(1+\cdots+\frac{1}{n} \right)D+n!)(x) \\
&= e^{nx}\left(n!\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}+n!x \right)
\end{align*}
となります。
2020年1月26日日曜日
ぷよぷよ 連鎖尾の解説
このツイートの19連鎖の連鎖尾について解説します。
シミュレーター
ここから、連鎖尾の部分を取り出すと、
となります。シミュレーター
下の赤発火で、7連鎖となります。
まず、最初の2連鎖に左の青を2つ置いた図(最初の3段)を見てみます。
シミュレーター
緑→青と連鎖をつなげることを考えます。簡単な方法としては、緑の上に青を2つ横追加する手があります(1枚目の図、分かりやすいので、よく使われると思います)。別の方法(今回の方法)としては、今、青は縦に2つあるので、その2段目につながるように青を追加します(2枚目の図)。
2枚目の図で、赤発火すると、3連鎖になり上の青の下にあるぷよが残ります。基本的には、この残ったぷよ(「仕込み」と自分は呼んでます)が消えるようにさらにぷよを上に追加していけば、連鎖尾を伸ばしていくことができます。2枚目の図では、青2つの下に仕込んだぷよの色を決めていなかったのですが、今回は赤2つとしました。
次は、青の下の2つの赤がターゲットです。赤の下に緑を1つ仕込むように赤2つと緑1つを追加してみます。
シミュレーター
この図で、下の赤から発火すれば、4連鎖となり、仕込んでおいた緑が1つ残ります。この残った緑1つが次のターゲットです。緑3つとその仕込みの黄色3つを追加してみます。
シミュレーター
最後に、黄色を1つと赤4つを追加して完成です。
シミュレーター
最後の赤が連鎖の消えていく途中で消える恐れはありますが、次の2点を見て、そうならなさそうと判断しています。
・左から3列目低いので、途中で段差が揃ってしまうことは無さそう
・4連鎖目の赤の上には緑と黄があるので、それとつながってしまうことは無さそう
— toyo (@toyo9) January 20, 2020連鎖全体は、次のようになっています。
ここから、連鎖尾の部分を取り出すと、
下の赤発火で、7連鎖となります。
まず、最初の2連鎖に左の青を2つ置いた図(最初の3段)を見てみます。
緑→青と連鎖をつなげることを考えます。簡単な方法としては、緑の上に青を2つ横追加する手があります(1枚目の図、分かりやすいので、よく使われると思います)。別の方法(今回の方法)としては、今、青は縦に2つあるので、その2段目につながるように青を追加します(2枚目の図)。
2枚目の図で、赤発火すると、3連鎖になり上の青の下にあるぷよが残ります。基本的には、この残ったぷよ(「仕込み」と自分は呼んでます)が消えるようにさらにぷよを上に追加していけば、連鎖尾を伸ばしていくことができます。2枚目の図では、青2つの下に仕込んだぷよの色を決めていなかったのですが、今回は赤2つとしました。
この図で、下の赤から発火すれば、4連鎖となり、仕込んでおいた緑が1つ残ります。この残った緑1つが次のターゲットです。緑3つとその仕込みの黄色3つを追加してみます。
最後に、黄色を1つと赤4つを追加して完成です。
最後の赤が連鎖の消えていく途中で消える恐れはありますが、次の2点を見て、そうならなさそうと判断しています。
・左から3列目低いので、途中で段差が揃ってしまうことは無さそう
・4連鎖目の赤の上には緑と黄があるので、それとつながってしまうことは無さそう
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