ツイッター自作問題 解答13

この問題の答えです。

無限和
Σ_{k=3}^∞ 1/(klog(k)log(log(k)))
の収束・発散を論じてください。収束する場合は、極限値を示してください。 pic.twitter.com/YyHKTJC7Dp

— toyo (@toyo9) June 14, 2020

問題の無限和を$S$とおきます。つまり、 $$S := \sum_{k=3}^\infty \frac{1}{k\log(k)\log(\log(k))}。$$ 上の図で、赤い枠内部の面積の総和が$S$と等しくなっており、 $$\begin{align} S > \int\limits_{3}^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x\log(x)\log(\log(x))} \end{align}$$ が成り立ちます($1/(x\log(x)\log(\log(x)))$が単調減少であることから分かります。)。 (1)の右辺において、$u:=\log(x)$とおくと$\mathrm{d}u=\mathrm{d}x/x$なので、 $$\begin{align*} \int\limits_{3}^{\infty} \frac{\mathrm{d}x}{x\log(x)\log(\log(x))} &= \int\limits_{\log(3)}^{\infty} \frac{\mathrm{d}u}{u\log(u)} \end{align*}$$ となります。 さらに、$v:=\log(u)$とおくと、 $$\begin{align*} \int\limits_{\log(3)}^{\infty} \frac{\mathrm{d}u}{u\log(u)} &= \int\limits_{\log(\log(3))}^{\infty} \frac{\mathrm{d}v}{v} \\ &= \log(\infty) - \log(\log(\log(3))) \\ &= \infty \end{align*}$$ となります。よって、$S$の下界が無限大に発散するので、$S$も共に発散します。つまり、 $$\sum_{k=3}^\infty \frac{1}{k\log(k)\log(\log(k))} = S = \infty$$ となります。

ツイッター自作問題 解答12

この問題の答えです。

＜問題＞
実数x(|x|<1)に対して、f(x)とg(x)を次のように定義します。
f(x):=x-xx/2+x^3/3-…。
g(x):=1+x+xx/2!+x^3/3!+…。
次の等式が成り立つことを示してください。
g(f(x))=1+x。 pic.twitter.com/YqCoP6Z1SP

— toyo (@toyo9) September 21, 2020

関数$F$に対して、$F'(x)$を$F(x)$の導関数とします。 次の二つの性質を確認します。 $$\begin{align} f'(x)=\frac{1}{x+1} \end{align}$$ $$\begin{align} g'(x)=g(x) \end{align}$$ ＜(1)の確認＞ $$\begin{align*} f'(x) &= \left(x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \cdots \right)' \\ &= 1 - x + x^2 - \cdots \\ &=\frac{1}{1+x}。 \end{align*}$$ ＜(2)の確認＞ $$\begin{align*} g'(x)&= \left(1+ x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \right)'\\ &= 1+ \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} \cdots \\ &= g(x)。 \end{align*}$$ 次に、 $$F(x):=g(f(x))$$ とおきます。 $F'(x)$と$F''(x)$を求めると、 $$\begin{align*} F'(x)&=(g(f(x)))'=f'(x)g'(f(x)) \\ &= \frac{g(f(x))}{x+1}\\ &= \frac{F(x)}{x+1} \end{align*}$$ $$\begin{align*} F''(x)&= \left(\frac{F(x)}{x+1} \right)' \\ &= \frac{F'(x)(x+1) - F(x)}{(x+1)^2} \\ &= \frac{ \frac{F(x)(x+1)}{x+1} - F(x)}{(x+1)^2} \\ &= \frac{F(x) - F(x)}{(x+1)^2} = 0 \end{align*}$$ となります。 $F''(x) = 0$の両辺を$x$で(二回)積分すると、 $$\begin{align} \frac{g(f(x))}{x+1} = \frac{F(x)}{x+1} = F'(x) = A。 \end{align}$$ $$\begin{align} g(f(x)) = F(x) = Ax + B。 \end{align}$$ となります($A$、$B$は定数)。 $f(0)=0$、$g(0)=1$と(3)より、 $$A = \frac{g(f(0))}{0+1} = g(0) = 1。$$ 同様に(4)より、 $$A \times 0 + B = B = g(f(0)) = g(0) = 1。$$ ゆえに、 $$g(f(x)) = x + 1。$$ となります。

ツイッター自作問題 解答11

この問題の答えです。

＜問題＞
D:xでの微分作用素、P(x):xの多項式として、
(1/(1-D))f(x)=f(x)+f'(x)+f''(x)+f'''(x)+…
を示してください。 pic.twitter.com/fNR8GD87Ej

— toyo (@toyo9) August 31, 2020

$P(x)$を$x$の$n$次多項式とし、 $$Q(x) := P(x) + DP(x) + D^2 P(x) + D^3 P(x) + \cdots$$ とします。
$(1-D)Q(x)=P(x)$を示します。$P(x)$は$n$次多項式なので、全ての整数$m>n$に対して、$D^m P(x) = 0$となります。よって、 $$Q(x) = P(x) + DP(x) + D^2 P(x) + \cdots + D^n P(x)$$ が成り立ちます。これから$(1-D)Q(x)$を計算すると、 $$\begin{align*} (1-D)Q(x) = P(x) &+ DP(x) + \cdots + D^n P(x) \\ &- (DP(x)+ \cdots + D^n P(x) + D^{n+1} P(x)) \\ = P(x) &\;\;\;(D^{n+1} P(x) = 0) \end{align*}$$ となります。
従って、$1/(1-D)$の定義より、 $$\begin{align*} \frac{1}{1-D}P(x) &= Q(x) \\ &= P(x) + DP(x) + D^2 P(x) + D^3 P(x) + \cdots \end{align*}$$ が示されました。

ツイッター自作問題 解答10

この問題の答えです。

＜問題＞
全てのn(n≧2)次正方行列Aに対して、
^tA=T_1 A T_2 (^tA:Aの転置行列)
となるようなn次正方行列T_1，T_2は存在しないことを示してください。 pic.twitter.com/nPYL46MqGZ

— toyo (@toyo9) June 27, 2020

全ての$n(\geqq 2)$次正方行列$A$に対して、${}^tA = T_1 A T_2$となるn次正方行列$T_1$、$T_2$が存在すると仮定します。 $A=E$:単位行列とすると、 $$\begin{align*} {}^tE &= T_1 E T_2 \\ E &= T_1T_2 \\ T_2 &= T_{1}^{-1} \end{align*}$$ であることが分かります。 次に、全ての$n$次正方行列たち$A$、$B$に対して、${}^t(AB)={}^tB{}^tA$が成り立つことから、 $$\begin{align*} {}^t(AB) &= {}^tB{}^tA \\ T_1 AB T_{1}^{-1} &= T_1 B T_{1}^{-1}T_1 A T_{1}^{-1} \\ T_1 AB T_{1}^{-1} &= T_1 BA T_{1}^{-1} \\ AB &= BA \end{align*}$$ が全ての$n$次正方行列たち$A$、$B$に対して成り立つことになります。しかし、これは一般的には成り立たないので矛盾です。 よって、全ての$n$次正方行列$A$に対して、${}^tA = T_1 A T_2$となるようなn次正方行列$T_1$、$T_2$は存在しません。

ツイッター自作問題 解答9

この問題の答えです。

次の条件を満たすAを一つ見つけてください。 pic.twitter.com/ezD4fXqE97

— toyo (@toyo9) April 30, 2019

$A^2$を対角化することで、$A$を見つけることにします。 そのために、$A^2$の固有値と固有ベクトルを求めます。 $A^2$の固有値を$\lambda$、固有ベクトルを$v$とすると、 $$\begin{align*} A^2 v &= \lambda v \\ (A^2 - \lambda E)v &= 0 (E:単位行列、0:零行列)。 \end{align*}$$ $v$を零ベクトルでないとすれば、$A^2 - \lambda E$は逆行列を持たないので、その行列式は$0$となります。これより、 $$\begin{align*} |A^2 - \lambda E| &= 0 \\ \begin{vmatrix} 10 - \lambda & 6 \\ 6 & 10 - \lambda \end{vmatrix} &= 0 \\ (10 - \lambda)^2 - 36 &= 0 \\ \lambda^2 - 20\lambda + 64 &= 0 \\ (\lambda - 4)(\lambda - 16) &= 0 \end{align*}$$ より、$\lambda = 4, 16$となります。$\lambda_1 := 4$、$\lambda_2 := 16$とし、$\lambda_1$対する固有ベクトルを$v_1={}^t\!\begin{pmatrix}x_1 & y_1\end{pmatrix}$、$\lambda_2$対する固有ベクトルを$v_2={}^t\!\begin{pmatrix}x_2 & y_2\end{pmatrix}$とします。 $v_1$を求めると、 $$\begin{align*} (A^2 - \lambda_1 E)v_1 &= 0 \\ \begin{pmatrix} 10 - 4 & 6 \\ 6 & 10 - 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} &= 0 \\ \begin{pmatrix} 6 & 6 \\ 6 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \end{pmatrix} &= 0 \end{align*}$$ これより、$v_1 = {}^t\!\begin{pmatrix}1 & -1\end{pmatrix}$が取れます。
$v_2$を求めると、 $$\begin{align*} (A^2 - \lambda_2 E)v_2 &= 0 \\ \begin{pmatrix} 10 - 16 & 6 \\ 6 & 10 - 16 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} &= 0 \\ \begin{pmatrix} -6 & 6 \\ 6 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \end{pmatrix} &= 0 \end{align*}$$ これより、$v_1 = {}^t\!\begin{pmatrix}1 & 1\end{pmatrix}$が取れます。 これで、$A^2$の固有値と固有ベクトルが求められました。 次に、$P:=\begin{pmatrix}v_1 & v_2\end{pmatrix}$とおいて、$A^2 P$を計算すると、 $$\begin{align*} A^2 P &= A^2 \begin{pmatrix}v_1 & v_2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}A^2 v_1 & A^2 v_2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix}4v_1 & 16v_2 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} v_1 & v_2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix} \\ &= P \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix} \\ A^2 &= P \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix} P^{-1} \end{align*}$$ となり、$A^2$を対角化することができました。 ここで、 $$B:=P \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} P^{-1}$$ を取り$B^2$を計算すると、 $$\begin{align*} B^2 &=P \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} P^{-1} P \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} P^{-1} \\ &= P \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}^2 P^{-1} \\ &= P \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 16 \end{pmatrix} P^{-1} \\ &= A^2 \end{align*}$$ よって、 $$\begin{align*} B &= P \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} P^{-1} \\ &= \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix} \end{align*}$$ は与式を満たす$A$の一つとなります。

ツイッター自作問題 解答8

この問題の答えです。 

＜問題＞
ℝ_{>0}:={x∈ℝ|x>0}
L_1(x):=∫_1^x (dα/α) (x∈ℝ_{>0})
L_2(x):=lim_{n→∞}n(x^{1/n}-1) (x∈ℝ_{>0})
とおく。
x,y∈ℝ_{>0}を取る。
L_1(xy)=L_1(x)+L_1(y) と L_2(xy)=L_2(x)+L_2(y)
を証明してください。 pic.twitter.com/tcoFfW7dPW

— toyo (@toyo9) January 20, 2020

＜$L_{1}(xy)=L_1(x)+L_1(y)$の証明＞

$$L_1(x) = \int_{1}^{x} \frac{d \alpha}{\alpha}$$

において、$\alpha = \beta / y$とおくと、 $$\begin{align*} L_1(x) &= \int_{y}^{xy} \frac{d(\beta / y)}{\beta / y} \\ &= \int_{y}^{xy} \frac{(1/y)d\beta}{\beta / y} \\ &=\int_{y}^{xy} \frac{d \beta}{\beta} \\ &=\left(\int_{1}^{xy} - \int_{1}^{y} \right) \left(\frac{d \beta}{\beta} \right) \\  &=L_{1}(xy)-L_{1}(y)　\\L_1(x) + L_1(y)&=L_1(xy)\end{align*}$$

となります。

＜$L_{2}(xy)=L_2(x)+L_2(y)$の証明＞

$$\begin{align*} n((xy)^{1/n} - 1) &= n((x^{1/n}-1)(y^{1/n}-1) \\ &+ (x^{1/n}-1)+(y^{1/n}-1)) \\ &= n(x^{1/n}-1)(y^{1/n}-1) \\ &+ n(x^{1/n}-1)+ n(y^{1/n}-1) \\ \end{align*}$$

$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n(x^{1/n}-1)$が収束するとすれば、
$$\begin{align*} \displaystyle \lim_{n \to \infty}n((xy)^{1/n} - 1) &= \displaystyle \lim_{n \to \infty}(n(x^{1/n}-1)(y^{1/n}-1) \\ &+ n(x^{1/n}-1)+ n(y^{1/n}-1)) \\ L_{2}(xy)&= L_{2}(x) \displaystyle \lim_{n \to \infty}(y^{1/n}-1) + L_2(x) + L_2(y) \\ &= L_2(x) + L_2(y) \end{align*}$$ となります。
$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n(x^{1/n}-1)$が収束することを確認します。$u:=x^{1/n}-1$とおくと、 $$\begin{align*} n(x^{1/n}-1) &= \frac{u}{\log_{x}(1+u)} \\ &= \frac{1}{\log_{x}((1+u)^{1/u})} \end{align*}$$ そして、 $$(1+u)^{1/n} \to e\;\;\;(u \to 0)$$ なので、$\displaystyle \lim_{n \to \infty}n(x^{1/n}-1)$は収束します。

ツイッター自作問題 解答7

この問題の答えです。

＜問題＞
5以上の素数pを取る。
36 | p(p+2)+1または36 | p(p-2)+1
が成り立つことを証明してください。

— toyo (@toyo9) July 15, 2019

5以上の素数$p$を取り、そして、$p$を6で割った余り$r$を考えます。
5以上の素数$p$なので($p \neq 2, 3$)、${\rm gcd}(r, 6)=1$となります。
これより、$r=1$または$5$となり、
$$p=6n-1\;\;\;または\;\;\;p=6n+1\;\;\;(n \geqq 1)$$
と表せます。
$p=6n-1$の場合、
$$p(p+2)+1 = (6n-1)(6n+1)+1 = 36n^2$$
より、$36 \; | \; p(p+2)+1$となります。
$p=6n+1$の場合、
$$p(p-2)+1 = (6n+1)(6n-1)+1 = 36n^2$$
より、$36 \; | \; p(p-2)+1$となります。
従って、
$$36 \; | \; p(p+2)+1\;\;\;または\;\;\;36 \; | \; p(p-2)+1$$
が成り立ちます。