簡単そうな問題を紹介します。
この数列の一般項を求めよ。
１、０、１、０、１、０、・・・、Ａｎ
分かる人は、このまま狙いをつけて一般項を求められるかもしれませんが、
一般的には階差を求めてから一般項を導きます。
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パズル、ゲーム、数学（算数？）などの好きなことを書き留めていきます。
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問題の答えです。
返信削除この数列の階差数列を書いてみると、
－１、１、－１、１、－１、・・・、（－１）＾ｎ
となります。階差数列をＢｎ＝（－１）＾ｎとおくと、
Ａ１＝１、Ａ２＝１＋Ｂ１、Ａ３＝１＋Ｂ１＋Ｂ２
Ａ４＝１＋Ｂ１＋Ｂ２＋Ｂ３、・・・
Ａｎ＝１＋Σ[ｋ＝１～ｎ－１]（Ｂｋ）
＝１＋Σ[ｋ＝１～ｎ－１]｛（－１）＾ｋ｝であるので、
Σ[ｋ＝１～ｎ－１]｛（－１）＾ｋ｝を求められれば、Ａｎ
が求まります。Σ[ｋ＝１～ｎ－１]｛（－１）＾ｋ｝＝Ｃｎ
とおいておくと、
Ｃｎを求める、ために
Σ[ｋ＝１～ｎ]｛（－１）＾ｋ｝を求めてみると、
これは、初項－１、公比－１の等比数列の和なので、
等比数列の和の公式より、
Σ[ｋ＝１～ｎ]｛（－１）＾ｋ｝＝
｛（－１）＾（ｎ＋１）－１｝／２
となります。
この求めた式のｎにｎ－１を代入したものがＣｎなので、
Ｃｎ＝｛（－１）＾ｎ－１｝／２ である。よってＡｎは
Ａｎ＝１＋Ｃｎ＝｛（－１）＾ｎ＋１｝／２ である。
（別解）
ガウス記号[ｘ]（ｘを超えない最大の整数）を使うと、
Ａｎ＝[（ｎ＋１）／２]－[ｎ／２]
と表示することもできます。