線形代数 対角化と固有値問題

メモ:徐々に色々書き足す予定
正方行列の対角化についてです。
対角化とは、$n$次正方行列$A$を次のように表すことを言います。
$$\begin{align*} A = PDP^{-1} \end{align*}$$
ここで$P$は正則行列($P^{-1}$はその逆行列)、$D$は対角行列で、
$$D = \begin{pmatrix} \lambda_{1} & &\\  & \ddots & \\  & & \lambda_{n} \end{pmatrix}$$
です。
例
$$\begin{align*} &\begin{pmatrix} 5 &4 \\ -8 &-7 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 &-1 \\ -1 &2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &0\\ 0 &-3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &-1 \\ -1 &2 \end{pmatrix}^{-1} \\ &\begin{pmatrix} 2 &3 &3\\ 3 &2 &3 \\ 3 &3 &2 \end{pmatrix} = \\ &\begin{pmatrix} 1 &1 &1\\ -1 &0 &1 \\ 0 &-1 &1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -1 &0 &0\\ 0 &-1 &0 \\ 0 &0 &8 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 &1 &1\\ -1 &0 &1 \\ 0 &-1 &1 \end{pmatrix}^{-1} \end{align*}$$
どのような$A$でも、対角化できるわけではありません(条件などについては、今のところ触れないでおくことにします)。
対角化には、次の利点があります。
・$A^m(m\in\mathbb{N})$が簡単に求められる。
例
$$\begin{align*} A^{4} &= (PDP^{-1})(PDP^{-1})(PDP^{-1})(PDP^{-1}) \\ &= PD(P^{-1}P)D(P^{-1}P)D(P^{-1}P)DP^{-1} \\ &= PDDDDP^{-1} \\ &= PD^{4}P^{-1} \end{align*}$$
そして、
$$\begin{align*} D^4 &= \begin{pmatrix} \lambda_{1} & &\\  & \ddots & \\  & & \lambda_{n} \end{pmatrix}^{4}\\ &= \begin{pmatrix} \lambda_{1}^{4} & &\\  & \ddots & \\  & & \lambda_{n}^{4} \end{pmatrix} \end{align*}$$
となり、簡単に計算できます。
メモ:ここはもっと増やしたい。よく使う記号を他の記事でまとめる。

さて、ここからは$A$を3行3列の行列とし、$P$を縦ベクトルを三本($v_1, v_2, v_3$)並べたものと見て、
$$P= \begin{pmatrix} v_1 &v_2 &v_3 \end{pmatrix}$$
$$v_1 = \begin{pmatrix} x_1 \\ y_1 \\ z_1 \end{pmatrix}, \;\;\; v_2 = \begin{pmatrix} x_2 \\ y_2 \\ z_2 \end{pmatrix}, \;\;\; v_3 = \begin{pmatrix} x_3 \\ y_3 \\ z_3 \end{pmatrix}$$
とします。すると、
$$\begin{align*} A &= PDP^{-1} \\ AP &= PD \\ A\begin{pmatrix}v_1 &v_2 &v_3\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} x_1 &x_2 & x_3 \\ y_1 &y_2 & y_3 \\ z_1 &z_2 & z_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_{1} & &\\  & \lambda_{2} & \\  & & \lambda_{3} \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}Av_1 &Av_2 &Av_3\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \lambda_{1}x_1 &\lambda_{2}x_2 & \lambda_{3}x_3 \\ \lambda_{1}y_1 &\lambda_{2}y_2 & \lambda_{3}y_3 \\ \lambda_{1}z_1 &\lambda_{2}z_2 & \lambda_{3}z_3 \end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}Av_1 &Av_2 &Av_3\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \lambda_{1}v_1& \lambda_{2}v_2& \lambda_{3}v_3 \end{pmatrix} \end{align*}$$
より、
$$\begin{align*} Av_i=\lambda_{i}v_i\;\;\;(i = 1,2,3) \end{align*}$$
を満たします。一般に、正方行列$A$に対して、
$$\begin{align} Av=\lambda v \end{align}$$
を満たす組$(\lambda, v)$を求める問題を固有値問題と呼びます。
$\lambda$を固有値、$v$を固有ベクトルと呼びます。
つまり、$A$の固有値と固有ベクトルを求めることができれば、(基本的に)$A$を対角化することができます。

固有値問題の解き方について見ていきます。
$(1)$を変形すると、
$$\begin{align*} Av - \lambda v &= 0 \;\;\;(0:零ベクトル)\\ Av - \lambda E v&=0\;\;\;(E:単位行列)\\ (A - \lambda E)v &= 0 \end{align*}$$
と表せます。もし、$A - \lambda E$の逆行列が存在すると、$v=0$となる自明な解しか求められません。なので、$(A - \lambda E)^{-1}$は存在しないとします。すると、$(A - \lambda E)^{-1}$が存在しないならば、$|A - \lambda E|=0$を満たします。
つまり、
$$\begin{align*} |A - \lambda E|=0 \end{align*}$$
を解くことにより、固有値$\lambda$を求めることができます。
後は、各固有値$\lambda$に対して、$(1)$を解くことで対応する固有ベクトルを求めることができます。
計算例1