分数の問題

今回は単位分数の和に分ける問題です。

次の式を満たす自然数x,y(x≠y)を一組見つけよ。

2/7 = 1/x + 1/y

なかなか解きにくい問題だと思います。

積分の問題（２）

（１）の問題と似ていますが、今度は定積分です。

∫{sin(x)^5}dxを計算せよ。積分範囲は０からπ／２とする。

漸化式を使った面白い解き方があります。

整数の問題（５）

今回は約数に関する問題です。

ａを合成数ｎの１でない最小の約数であるとする。
ａ≦ｎ＾（１／２）を示せ。

自分は背理法で証明しました。

積分の問題（１）

ちょっと話題になった積分があったので、紹介します。

∫{sin(x)^4}dxを計算せよ。

ちなみに、sin(x)^4はsin(x)の4乗という意味です。

整数の問題（４）

数学オリンピックの予選の問題で、一問だけ解けたので、紹介します。

3a＋5b(ただし、a,bは0以上の整数)の形で表わせない自然数の最大値を求めよ。

ヒントは、aとｂのどちらかを固定して考えることです。

確率の問題

てきとうに問題を作ったら、面白い答えが出たので、紹介します。

1/nで当たるくじをn回引くことを考える。
nを限りなく大きくしていくと、少なくとも1回当たる確率はどのような値に近づくでしょうか？

誰もが考えそうな問題なので、知っている人もいるかもしれませんね。

整数の問題（３）

見た目より簡単な問題を紹介します。

ｎ＾２－１（ｎは１以上の整数）の形をした素数が
無数に存在するかどうかを、根拠を述べて答えよ。

なんか厳かな感じがしますが、単純な問題です。

数列の問題（２）

簡単そうな問題を紹介します。

この数列の一般項を求めよ。

１、０、１、０、１、０、・・・、Ａｎ

分かる人は、このまま狙いをつけて一般項を求められるかもしれませんが、
一般的には階差を求めてから一般項を導きます。

さいころの問題

自作の問題を紹介します。

１～６までの６面が等確率で決定できるさいころがあります。
１～４までの４通りを等確率で決定したいとき、このさいころに
どのようなルールを付ければ良いでしょうか？

答えは一通りではありませんので、あれこれ考えるのも楽しいと思います。

ある意味ひっかけ問題

どんな解き方でも解くことはできますが、
ある解き方だと簡単に解ける問題を紹介します。

　　　ｘ　＋　１／ｘ　＝　３　の時

　　　ｘ＾２　＋　１／ｘ＾２　の値を求めよ。

引っかかると、時間のかかってしまう問題です。

変わった連鎖尾

ちょっと変わった連鎖尾を紹介します。
まず、この二つの図を見てみると、
図Ａ　　　　　　　　　　　図Ｂ

図Ａは、赤の左側に空間が無く、連鎖尾を付けにくそうです。
図Ｂは、赤の左側に空間があるので、連鎖尾を付けやすそうです。
あえて、図Ａに連鎖尾を付けることを考えてみます。
図Ａに黄系の組ぷよが４組来た時を考えると、

上の図で、右上にあるぷよは、次とその次に来るぷよを表しています。
一番右の図が４手進んだ図ですが、青発火で（青→赤→黄）の連鎖があることがわかります。
このまま連鎖尾を完成させるなら、青を繋げてこんな形にします。
図Ｃ

もっと連鎖尾を伸ばすなら、青の下に別の色を仕込みます。

おまけに、図Ｃからならば、左の黄からの連鎖も考えられます。
連鎖の例を二つ挙げておきます。

左の図は黄発火、右の図は緑発火です。

Twitterを始めました。

四月から新しいことを始めようということで、Twitterを始めてみました。
たまには書き込むこともあると思うので、良かったら見てやってください。

騙し戦法（序盤）

特殊な形を使った騙し戦法を紹介します。
まずは、こんな形を作ったとします。

恐らく、多くの人はこの連鎖を折り返しと見ると思います。
そして、わざと折り返しの発火点を塞いで、相手の速攻を誘います。

この状態で、相手が２連鎖ダブルなどで攻撃して来れば、赤で発火して４連鎖を打ち、こちらが優勢になります。

相手が様子を見てきた時は、まだ相手が騙されているかもしれないので、発火点を塞がないように連鎖を伸ばします。例えば、こんな感じです。

この形ならば、赤と緑の二色発火なので、安全性はとても高いです。
また相手がさっきと同じような攻撃をして来れば、赤か緑で発火すれば、さっきと同じようにこちらが優勢です。
次に目指す形は、この形です。

この形にするには、さっきの形の左から１列目と３列目を埋めていくわけですが、
一手で、赤赤の来る確率が１／１６で、赤緑の来る確率が１／８（赤緑と緑赤の２通りあるからです）だから、１列目から埋めていく場合が多いので、１列目の埋め方を考えると、赤系の組ぷよ（赤緑、赤赤以外）を使ったこんな置き方が面白そうです。

ここで攻撃して来れば、赤一つならば３列目からの２連鎖ダブル４連鎖発火、赤二つならば１列目からの６連鎖があります。

この形は、右の３列をほぼ自由に使えるので、赤緑を待ちながら積んでいってもそんなに悪くはならないと思います。
黄系がたくさん来れば、左から１列目に詰め込んで折り返す、緑緑が来れば、左から３列目に置くなど、他にも埋め方はたくさんありますが、長くなるのでこれくらいにします。
このように、ひたすらこちらの形を安全にして、罠を張ったかの如く相手の攻撃を待つのがこの戦法です。
この戦法の本質はこちらの形で相手を操ることにあります。
対戦中に相手を見て把握することの困難さが、この戦法を成り立たせているのです。

なかなかの高性能連鎖

まあまあ高性能な連鎖を考えたので紹介します。

まず、赤から発火すると１１連鎖あります。

そして、この連鎖はそれだけでは終わらず、５段お邪魔ぷよを
受けた後のカウンターでも１１連鎖あります。

この連鎖の仕組みは左側の形にあり、この形は上から消しても、
下から消しても連鎖が続く絶妙な形だからです。
そして、中段の黄発火で２連鎖ダブル（２連鎖目に二色または二つの塊が消える２連鎖）
が撃てるなど、小連鎖での攻撃もできるので、左側の形は実戦でも活躍できる形です。
おまけに、この連鎖をカウンター発火に特化させた連鎖を紹介します。

この形から、カウンター発火で１４連鎖あります。

複素数に関する問題

数検からなかなか面白い問題を見つけたので、紹介します。

「不等号の両辺に０より大きい数をかけても不等号の向きは変わらず、０
より小さい数をかければ不等号の向きは変わる」という法則を認める限り、
複素数には大小関係を考えることができないことを説明しなさい。

急に聞かれると困ってしまう問題ですね。

素数に関する問題

解き方が意外と簡単な問題を紹介します。

ｎ≧２のどの整数も素数であるか素数の積であることを証明せよ。

ヒント：数学的帰納法を使います。

この問題によって素数がとても重要なことがよくわかりますね。

ネイピア数の問題

微分積分でお馴染みの、ネイピア数ｅに関する問題です。

ネイピア数ｅは次のように定義されています。

　ｅ　＝　lim（ｎ→±∞）（１＋１／ｎ）＾ｎ　＝　2.71828・・・

では、次の値を求めよ。

　lim（ｎ→＋∞）｛１－１／（ｎ＾２）｝＾ｎ　


lim（ｎ→±∞）の意味は、ｎを正の方向に限りなく数を大きくしていく、または
ｎを負の方向に限りなく大きくしていく、という意味です。
つまり、上のｅの定義では、正の方向に限りなく増やそうとも、
負の方向に限りなく増やそうとも、どちらにしても2.71828・・・に近付いていく
という意味です。

４×４問題の答え（７）

「４×４で４連鎖の問題」の答えその７です。

なかなか面白い消え方をします。